szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2011, o 12:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Witam. Mam takie zadanie:
Dla jakiej wartości parametru m (m \in R) równanie: \frac{5}{3x-m} =  \frac{3}{mx-4} ma dodatnie rozwiązania?

Wyznaczam x i mam:
x =  \frac{20-3m}{5m-9} > 0  \Rightarrow (20-3m)(5m-9)>0  \Leftrightarrow m \in (- \frac{9}{5} ; \frac{20}{3})

Ale jak mam tutaj wyznaczyć dziedzinę na początku? I czy to co zrobiłem jest poprawne? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2011, o 12:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
dawid.barracuda napisał(a):
x =  \frac{20-3m}{5m-9} > 0  \Rightarrow (20-3m)(5m-9)>0  \Leftrightarrow m \in (- \frac{9}{5} ; \frac{20}{3})

Masz błąd w rachunkach.
Dziedziny ze względu na m nie musisz z początkowego równania wyznaczać (ja bym co najwyżej sprawdził szczególny przypadek m=0 gdyby to należało do rozwiązania -> pyt. pomocnicze: dlaczego akurat takie m? ;))
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2011, o 15:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Widzę, \frac{9}{5} Powinno być.
W odpowiedziach mam ten sam przedział z tym, że wyrzucono 2\sqrt{3}. Dlaczego tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2011, o 21:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
dawid.barracuda napisał(a):
W odpowiedziach mam ten sam przedział z tym, że wyrzucono 2\sqrt{3}. Dlaczego tak?

Chodzi o sytuację w której mianowniki byłyby równe, a liczniki juz nie i wyjdzie sprzeczność :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2011, o 22:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Czyli jak to zapisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2011, o 22:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
3x-m \neq a(mx-4)
Z cechy równości wielomianów
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2011, o 21:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Nie wiem czy dobrze dalej rozumiem - mam wyznaczyć takie a, by wyrażenie w nawiasie było równe temu po lewej stronie równania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2011, o 08:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Sprzeczność wyjdzie wtedy gdy
3x-m = a(mx-4)
dla wszystkich a poza jedną wartością (jaką pozostawiam pod rozwagę ;))
czyli:
3x-m = amx-4a
stąd:
a \cdot m=3 \\
m=4a
ponieważ a= \frac{m}{4}
podstawiamy
\frac{m^2}{4}=3
i jesteśmy w domu :)

(wychodzą 2 rozwiązania ale tylko jedno należy do wcześniej otrzymanego przedziału)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2011, o 10:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Inkwizytor napisał(a):
dla wszystkich a poza jedną wartością (jaką pozostawiam pod rozwagę ;))

Czy chodzi Ci o to, że a nie może być zerem? :)

Tylko tak się zastanawiam: w mianownikach mam 3x-m i mx-4. Kiedy Podstawie za m np. 3 to mam: 3x-3 i 3x-4. Jak mam wytłumaczyć wprowadzenie tego wsp. a? Rozumiem, że chodzi tu o równość wielomianów, tylko jak coś podstawię za ten parametr m to nie jestem w stanie sobie tego wyobrazić żeby były te mianowniki równe, skoro mam parametry w różnych miejscach. Jak mam to rozumieć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2011, o 12:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Ano a nie może byc zerem, oprócz tego teoretycznie w tym przypadku a mogłby być jeszcze równe \frac{3}{5} ale w tym przykładzie dla żadnego m nie da rady tego uzyskać.


Po podstawieniu m=2 \sqrt{3} uzyskasz:
L=  \frac{3}{3x-2 \sqrt{3}}

P=\frac{5}{2 \sqrt{3}x-4}= \frac{5}{2 \sqrt{3}x-4} \cdot  \frac{\frac{ \sqrt{3} }{2}}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{5 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}}{3x-2 \sqrt{3}}

L \neq P dla dowolnego x (należącym do dziedziny) bo skoro mianoniki są takie same to liczniki musiałyby być równiez identyczne.

Naszym a jest właśnie \frac{ \sqrt{3} }{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2011, o 17:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Wybacz mi pytanie jeśli nie widzę na nie odpowiedzi, ale mógłbyś mi wytłumaczyć skąd i dlaczego wprowadzam ten parametr a? Nie za bardzo chyba to rozumiem. Co powinienem powiedzieć nauczycielowi w szkole żeby wiedział, że to rozumiem i żeby dla mnie samego było to łatwe? Rozumiem, że a jest takie jakie jest (bo mianowniki wtedy są równe), ale jak zostało to wyliczone?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2011, o 23:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
a jest współczynnikiem proporcjonalności. Chodziło mi o następującą kwestię. Gdy przyrównujesz dwa ilorazy to:
- jeśli mają równe mianowniki i równe liczniki to na pewno są sobie równe
- jeśli mają równe mianowniki a różne liczniki to na pewno są różne
- jeśli mają różne mianowniki, to kwestia rozbija się o współczynnik proporcjonalności. Np.: \frac{1}{5}= \frac{3}{15} wówczas współczynnik proporcjonalności wynosi 3.

Sprawa jest trywialna w przypadku "gołych" liczb. Trochę trudniejszą kwestia są wyrażenia algebraiczne obecne w mianowniku. Przykładowo dla sytuacji: \frac{t}{2x+1}= \frac{k}{2x-1} nie istnieje takie a aby a(2x+1)=2x-1, czyli te dwa mianowniki zawsze będą różne.

Ale przypatrzmy się z kolei takiej sytuacji: \frac{t}{2x+4}= \frac{k}{3x+6}

Można zauważyć, że \frac{t}{2x+4}= \frac{ \frac{3}{2} \cdot t}{ \frac{3}{2} \cdot (2x+4)}= \frac{\frac{3}{2}  \cdot t}{3x+6}

Wówczas wystarczy porównać liczniki \frac{3}{2} \cdot t=k

I właśnie to na celu miało wprowadzenie tego a w Twoim przykładzie. Sprawdzenie czy w ogóle jest mozliwe zrównanie mianowników po obu stronach równania. Jeśli jest możliwe dla jakiegokolwiek m (jak już wiemy "jest to możliwe") to trzeba potem sprawdzić czy ten współczynnik a zrównuje nam liczniki.
Gdyby wyszło, że dla żadnego m nie da się mianownika z lewej strony przekształcić za pomocą mnożnika w mianownik z prawej strony, to w ogóle nie byłoby tematu

Nie wiem na ile stało się to jaśniejsze? ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2011, o 23:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Wydaje mi się, że rozumiem. Jeszcze tylko: \frac{ \sqrt{3} }{2} trzeba zauważyć, czy można to wyliczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2011, o 08:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Przeanalizuj treść postu z 10 lis 2011, o 09:49 ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2011, o 21:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Po analizie postu, który wskazałeś zrobiłem drugi przykład:

\frac{3}{2x-m}= \frac{4}{mx-8}

3(mx-8)=4(2x-m)

3mx-8x=24-4m

x(3m-8)=24-4m

x =  \frac{24-4m}{3m-8} < 0  \Rightarrow (24-4m)(3m-8) < 0  \Leftrightarrow m \in (-  \infty  ; \frac{8}{3}) \cup (6;+  \infty )

2x-m \neq a(mx-8)

2x - m  \neq amx - 8a, z równości wielomianów:

\begin{cases} am = 2\\ m = 8a \end{cases}

a =  \frac{m}{8}

\frac{m^2}{8} = 2  \Rightarrow m = -4  \cup m = 4  \not \in D

a = - \frac{1}{2}.

Mając to, co wyliczyłem:
dla m=-4 i wymnożeniu ułamka (po prawej) przez - \frac{1}{2} otrzymam równanie sprzeczne, dlatego wyrzucam z dziedziny -4, czyli w ostatecznym rozrachunku otrzymuję: (-  \infty  ; -4)  \cup (-4; \frac{8}{3}) \cup (6;+  \infty ).
Dobrze to załapałem?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania i nierówności niewymierne - informacje  Anonymous  1
 Równania wymierne z parametrem.  basia  2
 zadanie z treścią - równania wymierne  Anonymous  1
 Zadania z treścią - równania wymierne  judge00  1
 3 równania.  krzysiek  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl