szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2011, o 19:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Funkcja falowa opisująca cząstkę bezspinową w jednowymiarowym ograniczonym obszarze o rozciągłości l ma postać \Psi=A\sin \left( \frac{n \pi x}{l}   \right), w układzie związanym z lewą krawędzią tego obszaru, n=1,2,3,\ldots. Znaleźć unormowana amplitudę tej funkcji oraz wyrażenie określające dozwolone wartości energii tej cząstki w takim obszarze.

Rozwiązanie:
Z warunku normalizacyjnego \int_{\tau}\Psi\Psi^{*}\mbox{d}\tau=1
mamy:
\int_{0}^{l}A^2\sin^2 \left( \frac{n \pi x}{l} \right) \mbox{d}x=1 \\ \\ \int_{0}^{l}\sin^2 \left( \frac{n \pi x}{l} \right) \mbox{d}x= \frac{1}{A^2}


I=\int \sin^2 \left( \frac{n \pi x}{l} \right) \mbox{d}x=\left| \begin{matrix}
  t= \frac{n\pi x}{l}  \\
 \mbox{d}t=\frac{n\pi \mbox{d}x}{l}
 \end{matrix}\right|= \frac{l}{n\pi}\int \sin^2{t}\mbox{d}t= \frac{l}{2n\pi}\int  \left( 1-\cos{2t} \right) \mbox{d}t= \\  =\frac{l}{2n\pi}\left(t- \frac{1}{2}\sin{2t} \right)+C=\frac{l}{2n\pi}\left(\frac{n\pi x}{l}- \frac{1}{2}\sin{\left(\frac{2n\pi x}{l}\right)} \right)+C


Zatem
\int_{0}^{l}\sin^2 \left( \frac{n \pi x}{l} \right) \mbox{d}x=\frac{l}{2n\pi}\left(\frac{n\pi l}{l}- \frac{1}{2}\sin{\left(\frac{2n\pi l}{l}\right)} \right)-\frac{l}{2n\pi}\left(\frac{n\pi\cdot 0}{l}- \frac{1}{2}\sin{\left(\frac{2n\pi \cdot 0}{l}\right)} \right)=

= \frac{l}{2}

Czyli \frac{l}{2} = \frac{1}{A^2}
A z tego mamy A= \sqrt{ \frac{2}{l} }


Dla zerowej energii potencjalnej operator Hamiltona przyjmuje postać:
\widehat{H}=- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \partial ^2}{ \partial x^2}

Dla naszej funkcji falowej mamy:
\widehat{H}\Psi=- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \partial ^2}{ \partial x^2}\Psi=- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \partial ^2}{ \partial x^2}A\sin \left( \frac{n \pi x}{l}   \right)=-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \partial }{ \partial x} \frac{An\pi }{l}\cos \left( \frac{n \pi x}{l}   \right)=

=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{An\pi }{l} \frac{n\pi}{l}  \cdot \left[-\sin \left( \frac{n \pi x}{l}   \right)\right]= \frac{\hbar^2 An^2\pi^2}{2ml^2}\sin \left( \frac{n \pi x}{l}   \right)

Zatem
\widehat{H}\Psi=\frac{\hbar^2 n^2\pi^2}{2ml^2}\Psi


A więc dozwolone wartości energii to
E_n=\frac{\hbar ^2 n^2\pi^2}{2ml^2}=  \frac{ \frac{h^2}{4\pi^2}n^2\pi^2 }{2ml^2} = \frac{n^2h^2}{8ml^2}


\hline
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz wartości a dla którego suma współczynników =  Anonymous  4
 Definicja i własności funkcji wykładniczej  Anonymous  1
 (2 zadania) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąt  Anonymous  1
 pochodna funkcji  Anonymous  1
 Znajdź x dla którego wartość funkcji jest liczbą całk  Anonymous  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl