szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2011, o 19:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17440
Lokalizacja: Cieszyn
Pochodna funkcji - motywacja fizyczna


Poniższy tekst ma na celu umotywowanie wprowadzenia pojęcia pochodnej przez jej interpretację fizyczną związaną z prędkością w dowolnym ruchu. Rozważam tutaj tylko ruchy prostoliniowe, czyli jednowymiarowe. Pisząc "droga" czy "prędkość", mam na myśli wartości skalarne. Tak naprawdę droga (tor) i prędkość są bowiem wielkościami wektorowymi.

Prędkość v w ruchu jednostajnym jest ilorazem przebytej drogi s do czasu, w którym ta droga została przebyta:

v=\frac{s}{t}\,.

W dowolnym ruchu, niekoniecznie jednostajnym, przez s(t) oznaczmy drogę przebytą przez punkt materialny w czasie t>0, a przez v(t) prędkość punktu w chwili t.

Dowolny ruch można w krótkim przedziale czasowym przybliżać ruchem jednostajnym. Sensownym uproszczeniem jest założenie, że w krótkich odcinkach czasowych prędkość jest stała. Przy założeniu jednostajności ruchu w przedziale czasowym [t,t+\Delta t], prędkość jest ilorazem

\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}

zwanym ilorazem różnicowym. Jest to stosunek drogi przebytej w czasie od t do t+\Delta t do czasu, w którym ta droga została przebyta, czyli \Delta t. Prędkość chwilową v(t) w chwili t otrzymujemy przechodząc do granicy przy \Delta t\to 0 (skracając coraz to bardziej przedział czasowy, w którym zakładamy jednostajność ruchu):

v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\,.

Oznaczając

\Delta s(t)=s(t+\Delta t)-s(t)\,,

mamy

v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s(t)}{\Delta t}\,.

W tradycyjnej notacji

v(t)=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}\quad\text{lub}\quad v(t)=s'(t)\,.

Mówimy, że w dowolnym ruchu prędkość jest pochodną drogi względem czasu.

Przykład

Równanie drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym ma postać

s(t)=v_0t+\frac{at^2}{2}\,,

gdzie v_0 jest prędkością początkową, natomiast a jest (stałym) przyspieszeniem. Z kolei równanie prędkości w tym ruchu to

v(t)=v_0+at\,.

Znając równanie drogi wyprowadzimy wzór na prędkość.

\begin{aligned}
  v(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}
       =\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v_0(t+\Delta t)+\frac{a(t+\Delta t)^2}{2}-v_0t-\frac{at^2}{2}}{\Delta t}=\\[2ex]
      &=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v_0t+v_0\cdot\Delta t
        +\frac{a\bigl(t^2+2t\cdot\Delta t+(\Delta t)^2\bigr)}{2}-v_0t-\frac{at^2}{2}}{\Delta t}=\\[2ex]
      &=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v_0\cdot\Delta t+\frac{a}{2}\bigl(2t\cdot\Delta t+(\Delta t)^2\bigr)}{\Delta t}
       =\lim_{\Delta t\to 0}\left(v_0+at+\frac{a\cdot\Delta t}{2}\right)=v_0+at\,.
 \end{aligned}

U podstaw wielu pojęć matematycznych stoi fizyka. W fizyce prędkość jest szybkością zmiany drogi. Również w matematyce wartość pochodnej funkcji mierzy, jak szybko zmieniają się wartości tej funkcji.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyprowadzenia pochodnych ważniejszych funkcji  jasny  3
 Pochodna superpozycji funkcji (funkcji złożonej) w punkcie  bolo  0
 Całkowanie funkcji wymiernych metodą Ostrogradskiego  luka52  0
 asymptoty wykresu funkcji - zadanie 3  lukasz1804  0
 Pochodna funkcji górnej lub dolnej granicy całkowania  luka52  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl