szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2011, o 17:34 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: Warszawa
Witam, kolejne zadania kolejne problemy...
Znajdź wszystkie funkcje f: R \rightarrow R spełniające warunek
1. dla każdego x i y rzeczywistego: f(x+y) - f(x-y)=f(x)f(y)
2. f(x)+f \left(  \frac{1}{1-x} \right) =x dla x rzeczywistych poza 0 i 1

1. Podstawiając y=0 okazuje się że wtedy f(x)f(0)=0 \Rightarrow f(0)=0, następnie podstawiając x=0  \Leftrightarrow  f(y)=f(-y). Mimo to nie wiem jak znaleźć wszystkie te funkcje...

Proszę o wskazówkę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2011, o 18:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
1) (x,y) := (0,0)  \Rightarrow f(0) = 0
(x,y) := (x,x)  \Rightarrow f(2x) = f(x)^2
(x,y) := (0,y)  \Rightarrow f(y) = f(-y) czyli nasza funkcja jest parzysta
(x,y) := (x,-x)  \Rightarrow -f(2x) = f(x)f(-x)=f(x)^2=f(2x)  \Leftrightarrow f(2x)=0  \Leftrightarrow f(x)=0

2) f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x
x := \frac{x-1}{x}  \Rightarrow f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f(x) = \frac{x-1}{x} (*)
Podstawiamy do (*) x := \frac{x-1}{x}  \Rightarrow f\left(\frac{1}{1-x}\right)+f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1-x}

Mamy więc:

\begin{cases} f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x\\ f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f(x) = \frac{x-1}{x} \\ f\left(\frac{1}{1-x}\right)+f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1-x} \end{cases}

Z czego łatwo już wyznaczamy f(x) = \frac{x^3-x+1}{2x^2-2x}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2011, o 18:14 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuje bardzo, spodziewałem się raczej wskazówki, ale myślę że i tak będę w stanie z tego rozwiązania sporo się nauczyć. Pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania funkcyjne - zadanie 2  Calasilyar  1
 Równania funkcyjne - zadanie 6  SebS29  23
 Równania funkcyjne - zadanie 7  kipsztal  1
 Równania funkcyjne - zadanie 9  pioti1625825  0
 równania funkcyjne  Anonymous  3
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl