szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2011, o 18:29 
Użytkownik

Posty: 1026
Jak udowodnić, że n \cdot m = NWW(n,m) \cdot NWD(n,m) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2011, o 20:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Niech dla pewnych p_i \in \mathbb{P} oraz a_i,bi \in \mathbb{Z_+} \cup \lbrace 0 \rbrace:

m = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot p_3^{a_3} \cdot ... \cdot p_k^{a_k} \\ \\ n = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot p_3^{b_3} \cdot ... \cdot p_k^{b_k}

Wtedy:
NWD(m,n) = p_1^{min\lbrace a_1,b_1\rbrace} \cdot p_2^{min\lbrace a_2,b_2\rbrace} \cdot ... \cdot p_k^{min\lbrace a_k,b_k\rbrace} \\ \\ NWW(m,n) = p_1^{max\lbrace a_1,b_1\rbrace} \cdot p_2^{max \lbrace a_2,b_2\rbrace}\cdot ... \cdot p_k^{max\lbrace a_k,b_k\rbrace}

Czyli:

NWD(m,n) \cdot NWW(m,n) = p_1^{min\lbrace a_1,b_1\rbrace + max\lbrace a_1,b_1\rbrace} \cdot p_2^{min\lbrace a_2,b_2 \rbrace + max\lbrace a_2,b_2 \rbrace} \cdot ... \cdot p_k^{min\lbrace a_k,b_k\rbrace + max\lbrace a_k,b_k\rbrace} = p_1^{a_1+b_1}\cdot p_2^{a_2+b_2}\cdot ... \cdot p_k^{a_k+b_k} = m\cdot n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lis 2011, o 11:49 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: inny świat
A dlaczego zakładasz że obie liczby m, \ n mają tyle samo (k) dzielników pierwszych i w dodatku takie same tylko w różnych potęgach?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lis 2011, o 12:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Niczego takiego nie zakładam, a_i,b_i mogą być równe 0, np biorąc liczby 12 oraz 15 mamy:

12 = 2^2\cdot 3^1\cdot 5^0 \\ \\ 15 = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lis 2011, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 113
inny napisał(a):
A dlaczego zakładasz że obie liczby m, \ n mają tyle samo (k) dzielników pierwszych i w dodatku takie same tylko w różnych potęgach?

Liczba 'k' nie jest liczbą podzielników liczby m, n, tylko kolejne liczby pierwsze. Zostało tu użyte podstawowe twierdzenie arytmetyki: każdą liczbę n>1 da się zapisać jako iloczyn potęg liczb pierwszych. W tym wypadku liczby pierwsze to p _{1},...,p_{k}, zaś potęgi tych liczb to a_{1},...,a_{k}, b_{1},...,b_{k}.
Warto zauważyć, że p ^{0}=1.

Pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód podzielności - zadanie 21  duszan1  1
 Dowod Podzielnosc przez 7, 11,13  wojtusp7  2
 Dowód przez zaprzeczenie - zadanko  kubas89  1
 Dowód na podzielność 3 kolejnych liczb  MathMaster  1
 liczba podzielna przez 19-dowód  ala1609  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl