szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lis 2011, o 21:44 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Bialystok
Moim zadaniem jest wyznaczenie wszystkich liczb naturalnych, które spałniałby nierówność 2^{n}  \le n^{2}+2n.

1. Sprawdzam nierówność, jest poprawna dla n < 6.

2. Zakładam ze 2^{k}  \le k^{2}+2k. też jest prawdziwe.
Na podstawie tego moge stworzyć teze: 2^{k+1}  \le (k+1)^{2}+2(k+1).

Próboje dowodzić w następujący sposób:
2^{k+1}  \le (k+1)^{2}+2(k+1) = (k^{2} + 2k + 1) + 2k +2 = (k^{2} + 2k) + 2n\k +3.
W tym momencie się gubie, gdyż nie wiem jak / z czym porównac 2k + 3. Probowałem nawet sprawdzać wszystkie możliwości (wiem, to nie jest sposób na zrozumienie, ale...) nie dochodze do wyniku, który zdaje sie być: n < 6 dla n naturalnych.

Prosiłbym o dokładne rozpisanie tego co sie dzieje z równaniem jak zamieniamy je na nierówność. Z góry dziekuje.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 lis 2011, o 23:34 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
jtj napisał(a):
Probowałem nawet sprawdzać wszystkie możliwości (wiem, to nie jest sposób na zrozumienie, ale...)

Jeśli mówiąc "wszystkie" masz na myśli "wszystkie po kolei", to masz prawie rację - tu to jest jedyny sposób, ponieważ ta nierówność w ogólności nie jest prawdziwa. Prawdziwa jest nierówność odwrotna, od pewnego N począwszy.

Zatem - najpierw ustal, jakie to N (czyli sprawdzaj po kolei, aż dojdziesz do pierwszego n, dla którego Twoja podana nierówność nie jest prawdziwa), a potem możesz dowieść indukcyjnie, że każdego n\ge N zachodzi 2^{n} > n^{2}+2n.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lis 2011, o 23:57 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Bialystok
No dobrze, ale nadal mam problem z przejsciem tego typu:
k^{2} + 2k +1 +2k+2 = k^{2} +2k+2k+3  \le 2^{k}  \cdot  2 ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lis 2011, o 00:27 
Użytkownik

Posty: 5357
Lokalizacja: Gliwice
k^{2} + 2k +1 +2k+2 = (k^{2} +2k)+2k+3  \le 2^{k}+(2k+3) \le 2^k+2^k=2^{k+1

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że... - zadanie 2  Demon  6
 dowód nierównosci  darek20  1
 Dowód nierówności. - zadanie 3  calka_oznaczona  4
 Udowadnienie nierownosci  Kappurubea  4
 Dowód indukcyjny trzech nierówności  mmoonniiaa  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl