szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 lis 2011, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Krk
1. znaleźć przykład funkcji bez okresu podstawowego
2. wykazać, że zbiór okresów funkcji okresowej bez okresu podstawowego jest gęsty w \mathBB{R}
3. wykazać, że funkcja ciągła w jednym punkcie i okresowa posiada okres podstawowy
4. czy istnieje funkcja liniowa f: R \rightarrow R i nieciągła?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lis 2011, o 22:05 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Ad 1. Funkcja stała, funkcja Dirichleta.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2013, o 20:40 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Krakow
A ja mam takie pytanie do 1. Czy istnieje jeszcze jakaś oprócz tych wymienionych, okresowa bez okresu podstawowego??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2013, o 21:40 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
4. Z definicji ciągłości rozpisać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2013, o 21:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
scandal1234 napisał(a):
A ja mam takie pytanie do 1. Czy istnieje jeszcze jakaś oprócz tych wymienionych, okresowa bez okresu podstawowego??

Np. funkcja stała.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2013, o 21:53 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Stała akurat była wymieniona.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2013, o 22:00 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Ajć, nie wiem jak to czytałem przedtem :P

W takim razie inny przykład:

Funkcja f:\RR \rightarrow \RR, której okresami są liczby t_1=1 oraz t_2\in\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2013, o 22:02 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Ale co to za funkcja?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2013, o 22:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Pytanie było, czy istnieje taka funkcja - wystarczy więc podać sposób jej konstrukcji bez "wnikania w szczegóły" :P

Można też skonstruować taką funkcję :
F(n)= \begin{cases} 0, \ \text{gdy } n \text{ jest liczbą przestępną } \\ \min\{\deg\left(W\right) :W\in\ZZ[x] \  \wedge \ W\left(n\right)=0  \wedge W \not\equiv 0 \} \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2013, o 22:36 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
ares41 napisał(a):
Ajć, nie wiem jak to czytałem przedtem :P

W takim razie inny przykład:

Funkcja f:\RR \rightarrow \RR, której okresami są liczby t_1=1 oraz t_2\in\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}


Ale być może taka funkcja nie istnieje. Póki nie zobaczę, nie uwierzę :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2013, o 23:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Weźmy jako przykład funkcję o okresach 1 i \sqrt{2}.
Możemy ją zapisać tak:
f(x)= \begin{cases} 0, \ \text{dla } x=n+m\sqrt{2} ,\ m,n \in \ZZ\\ 1, \ \text{dla pozostałych }x \end{cases}

Dla innych niewymiernych można skonstruować podobne funkcje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2013, o 00:13 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Tylko, że ta funkcja ma okres zasadniczy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2013, o 13:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Dlaczego ?

Wykorzystałem tutaj tw. podane w St.Stoiński Funkcje prawie okresowe
Cytuj:
Każda funkcja \RR \rightarrow \RR, której okresami są liczba 1 i pewna liczba niewymierna s jest funkcją mikrookresową.

Dowód opiera się na tw. Dirichleta :
Cytuj:
Niech x będzie liczbą niewymierną. Wtedy dla dowolnego n\in \NN istnieją takie całkowite p,q, że 1 \le q \le n oraz \left| xq-p\right| \le  \frac{1}{n}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje ciągłe i okresowe - zadanie 2  sandra791  2
 Funkcje ..wiedza ogolna...  vaxius  3
 Funkcje, równania i nierówności  Haqim  13
 Oblicz i narysuj funkcję.  anonimus007  0
 Wyznaczyć wszystkie funkcje - zadanie 2  kluczyk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl