szukanie zaawansowane
 [ Posty: 19 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2011, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 23
Witam

Mam spory problem z rozwiązywaniem równań i nierówności. Chciałbym się tego jakoś nauczyć bo poprawiam. A sam nie daję rady wytłumaczył by mi ktoś ? Proszę :(
Wziąłem cztery losowe przykłady do rozwiązania:

1. ||x|-6|=8
2. ||x|-1| \le 2
3. |x-1|<2<x+1
4. |x^{2}-1|+|x-1|+|2x-2|=0

Pierwszy przykład rozwiązałem, ale czy dobrze ?:

||x|-6|=8
2x-5>-7 i 2x-5<7
2x>-2 i 2x<12
x>-1 i x<6
x:{-1;6}

W pozostałych nawet nie wiem od czego zacząć.. :( Wytłumaczył by mi ktoś krok po kroku ?..
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 gru 2011, o 21:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5483
Lokalizacja: Gdańsk
1. Rozpisujemy na dwa przypadki: wnętrze wartości bezwzględnej jest równe 8 lub (znak alternatywy: \vee ) jest równe -8, czyli mamy:
\left| \left| x\right| -6\right| =8 \\ \left| x\right| -6=8 \vee \left| x\right| -6=-8 \\ \left| x\right| =14 \vee \left| x\right|= -2
Po lewej stronie zostawiłam tylko wyrażenie z wartością bezwzględną: pierwszy przypadek będzie trzeba dalej kontynuować, a w drugim już teraz zauważamy sprzeczność, bo wartość bezwzględna z żadnej liczby nie jest ujemna.
Dalej będzie więc tak:
x=-14 \vee x=14 \vee x \in \varnothing
Ostatecznie mamy dwa rozwiązania tego równania: x \in \left\{ -14;14\right\}


2. Tutaj rozwiązujemy nierówność, warto skorzystać z twierdzenia:
\left| x\right| <a \Leftrightarrow  \begin{cases} x<a \\ x>-a \end{cases}
||x|-1| \le 2 \Leftrightarrow  \begin{cases} ... \\ ... \end{cases}
Spróbuj rozpisać w klamerce i pokaż, co otrzymałeś.


3. Przekształćmy zapis:
\left| x-1\right| <2<x+1 \Leftrightarrow  \begin{cases} \left| x-1\right| <2 \\ x+1>2 \end{cases}
Następnie ponownie skorzystamy z twierdzenia z przykładu 2.
\begin{cases} x-1<2 \\ x-1>-2  \\ x+1>2 \end{cases}
Dalej na pewno wiesz, jak rozwiązywać.


4. Tutaj mam taką propozycję:
\left| x^{2}-1\right| +\left| x-1\right| +\left| 2x-2\right| =0 \\
\left| x-1\right| \cdot \left| x+1\right|  +\left| x-1\right| +2 \left| x-1\right| =0 \\
\left| x-1\right| \cdot \left| x+1\right|  +3 \left| x-1\right| =0 \\
\left| x-1\right|\left(  \left| x+1\right|  +3 \right) =0
Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.
\left| x-1\right| =0 \vee \left| x+1\right|  +3=0 \Leftrightarrow x=1 \vee x \in \varnothing \Leftrightarrow x=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2011, o 19:06 
Użytkownik

Posty: 23
Sorka, że trochę długo mi to zajęło, ale zawaliła mi się na głowę inna sprawa...
1.
Aha, czyli \vee to to samo co "lub", tak ?
A \Leftrightarrow to jest jak się likwiduje wartość bezwzględną ?
2.
||x|-1| \le 2 \Leftrightarrow  \begin{cases} |x|-1 \le 2 \\ |x|-1 \ge 2 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} |x| \le 3 \\ |x| \ge 3 \end{cases}
I z tego mi wychodzi, że:
x \le 3 \vee x \ge 3
czyli
x \in \left\{- \infty;\infty \right\}

3.
Z tego:
\begin{cases} x-1<2 \\ x-1>-2 \\ x+1>2 \end{cases}
Wychodzi mi, że:
x<3 \vee x>-1 \vee x>1
Czyli:
x \in \left\{ 1;3\right\}

4.
Chyba zrozumiałem twoje rozwiązanie :) sprawdze to z innym przykładem po tym jak sprawdzisz mnie w powyższych :D
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 gru 2011, o 19:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5483
Lokalizacja: Gdańsk
Kuunska napisał(a):
Sorka, że trochę długo mi to zajęło, ale zawaliła mi się na głowę inna sprawa...
1.
Aha, czyli \vee to to samo co "lub", tak ?

Tak, ten symbol \vee oznacza "lub", czyli alternatywę. Mamy też symbol koniunkcji: \wedge, który czytamy jako: "i".

Kuunska napisał(a):
A \Leftrightarrow to jest jak się likwiduje wartość bezwzględną ?

Niezupełnie, ten symbol czytamy: "wtedy i tylko wtedy gdy" i jest to przejście do kolejnych przekształceń, owszem w tym przypadku jest to likwidowanie wartości bezwzględnej. Zamiast tego symbolu możesz przejść sobie do kolejnej linijki.

Kuunska napisał(a):
2.
||x|-1| \le 2 \Leftrightarrow  \begin{cases} |x|-1 \le 2 \\ |x|-1 \ge 2 \end{cases}

Tu robisz błąd, bo minusa zabrakło, powinno być:
\begin{cases} |x|-1 \le 2 \\ |x|-1 \ge {\color{red}-}2 \end{cases}
Teraz kontynuujesz i pamiętaj, aby jeszcze raz zastosować to twierdzenie.

Kuunska napisał(a):
3.
Z tego:
\begin{cases} x-1<2 \\ x-1>-2 \\ x+1>2 \end{cases}
Wychodzi mi, że:
x<3 \vee x>-1 \vee x>1
Czyli:
x \in \left\{ 1;3\right\}

OK, tylko inny symbol, bo klamerki zastępują koniunkcję, czyli spójnik "i" oznaczany symbolem \wedge, a nie \vee, tak jak Ty napisałeś. Po za tym w odpowiedzi powinny być inne nawiasy: x \in \left( 1;3\right), czyli przedział od 1 do 3. Twój zapis z nawiasami klamrowymi sugeruje, że rozwiązaniem są tylko dwie liczby: 1 i 3, a tak przecież nie jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2011, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 23
Znowu miałem dużo do roboty więc dopiero teraz pisze, sorka :(

Rozwiązałem jeszcze raz 2. zadanie:
\begin{cases} |x-1| \le 2 \\ |x-1| \ge -2 \end{cases}
 \Leftrightarrow 
x-1 \le 2  \vee  x-1 \ge -2
 \Leftrightarrow 
x \le 3  \vee  x \ge -1
 \Leftrightarrow 
x \in [-1;3]
Teraz chyba dobrze mi poszło ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 gru 2011, o 00:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5483
Lokalizacja: Gdańsk
Twoje rozwiązanie jest poprawne, tylko zamiast symbolu alternatywy \vee powinien być symbol koniunkcji \wedge. Klamerka zastępuje koniunkcję, a później szukasz przecież części wspólnej.
\begin{cases} |x-1| \le 2 \\ |x-1| \ge -2 \end{cases} \Leftrightarrow x-1 \le 2 \ {\color{red} \wedge } \ x-1 \ge -2 \ {\color{red} \wedge } \ {\color{red}x \in R} \Leftrightarrow x \le 3 \ {\color{red} \wedge } \ x \ge -1 \Leftrightarrow x \in [-1;3]

Pierwszą nierówność rozpisujemy na 2 przypadki, a w drugiej zauważamy, że jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2011, o 11:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 775
Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
mmoonniiaa, |x-1|>-2 - to jest prawdziwie zawsze, bo moduł jest nieujemny, więc po dokładać sobie napisów? Po prostu można pominąć to dalej w układzie nierówności..
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 gru 2011, o 11:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5483
Lokalizacja: Gdańsk
Mortify, oczywiście masz rację, zaraz poprawię post. Wybaczcie, to ta późna pora...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2011, o 16:51 
Użytkownik

Posty: 23
A skąd wiadomo, że
x \in R ? :s
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 gru 2011, o 17:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5483
Lokalizacja: Gdańsk
Bo obojętnie jaką liczbę rzeczywistą podstawisz za x to nierówność: |x-1| \ge -2 zawsze będzie prawdziwa. Wynika to z tego, że wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest nieujemna (większa lub równa zero), a więc także jest ona większa od -2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2011, o 18:26 
Użytkownik

Posty: 23
Z tym znakiem koniunkcji (\wedge) to wstawia się go wtedy gdy są te znaki, tak ?:

\ge 
 \le

A alternatywy (\vee) jak są:

<
>
=

Tak ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 gru 2011, o 19:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5483
Lokalizacja: Gdańsk
Nie.

Znak koniunkcji - spójnik "i": \wedge wstawiamy w takich przypadkach:
\left| x\right| <a \Leftrightarrow x<a \wedge x>-a \\ \left| x\right|  \le a \Leftrightarrow x \le a \wedge x \ge -a

Znak alternatywy - spójnik "lub": \vee wstawiamy w takich przypadkach:
\left| x\right|>a \Leftrightarrow x>a \vee x<-a \\ \left| x\right| \ge a \Leftrightarrow x \ge a \vee x \le -a \\ \left| x\right| =a \Leftrightarrow x=a \vee x=-a

Czyli to, czy rozpisujemy na alternatywę czy koniunkcję, zależy od tego, w jakim kierunku zwrócony jest znak nierówności w stosunku do znaku wartości bezwzględnej (czy wyrażenie z wartością bezwzględnej jest mniejsze (mniejsze lub równe) czy większe (większe lub równe)). Natomiast przy decydowaniu o tym, czy rozpisujemy na alternatywę czy koniunkcję, nieistotne jest dla nas czy nierówność jest ostra (mocna): >, \ <, czy nieostra (słaba): \ge , \  \le

-- 8 grudnia 2011, 19:07 --

Kilka prostych przykładów:
\left| x\right|  \le 5 \Leftrightarrow x \le 5 \ {\color{red}\wedge} \ x \ge -5 \Leftrightarrow x \in \left[ -5;5\right] \\
\left| x\right| < 6 \Leftrightarrow x<6 \ {\color{red}\wedge} \ x>-6 \Leftrightarrow x \in \left( -6;6\right) \\
10>\left| x\right|  \Leftrightarrow \left| x\right| <10 \Leftrightarrow x<10 \ {\color{red}\wedge} \ x>-10 \Leftrightarrow x \in \left( -10;10\right) \\ \\
\left| x\right|  \ge 8 \Leftrightarrow x \ge 8 \ {\color{red}\vee} \ x \le -8 \Leftrightarrow x \in \left( - \infty ;-8\right]  \cup \left[ 8;+ \infty \right) \\
\left| x\right| > 2 \Leftrightarrow x>2 \ {\color{red}\vee} \ x<-2 \Leftrightarrow x \in \left( - \infty ;-2\right)  \cup \left( 2;+ \infty \right) \\
4 \le \left| x\right|  \Leftrightarrow \left| x\right|  \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 4 \ {\color{red}\vee} \ x \le -4 \Leftrightarrow x \in \left( - \infty ;-4\right]  \cup \left[ 4;+ \infty \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2011, o 20:25 
Użytkownik

Posty: 23
W porządku, po poczytaniu twoich instrukcji chyba rozumiem już jak to robić. Wziąłem nowy losowy przykład z karteczki o sprawdzianie:

\left| x- \frac{ \sqrt{2} }{4}\right|  >  \frac{4}{ \sqrt{2} }
x- \frac{ \sqrt{2} }{4}  >  \frac{4}{ \sqrt{2} } \vee x- \frac{ \sqrt{2} }{4} < - \frac{4}{ \sqrt{2} }
x  >  \frac{9 \sqrt{2}}{ 4 } \vee x < - \frac{7 \sqrt{2}}{ 4 }
x \in (-1,75 \sqrt{2} ;  2,25 \sqrt{2})

Czy dobrze rozwiązałem to równanie ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 gru 2011, o 20:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5483
Lokalizacja: Gdańsk
Brakuje minusa:
x > \frac{9 \sqrt{2}}{ 4 } \vee x < {\color{red}-}\frac{7 \sqrt{2}}{ 4 }
Na koniec sumujesz przedziały.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2011, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 23
Minus poprawiłem w poście, ale jak sumować przedziały ?.. Jest tylko jeden przecież.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 19 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wartość bezwzględna  Anonymous  6
 Rozwiązywanie układów równań z wartością bezwzględ  Anonymous  2
 Wartość bezwzględna - zadanie 2  mateo19851  2
 [Wartosc bezwzgledna] Problem z nierownoscia  Anonymous  2
 Wykres funkcji z wartością bezwzględną.  mateo19851  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl