szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2011, o 20:54 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnij, że dla dowolnego trójkąta zachodzi nierówność: abc(a+b+c)>2P(ab+bc+ac)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2011, o 00:32 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Korzystając ze wzoru P=\frac{1}{2}ab \sin{ \gamma } (przy standardowych oznaczeniach) mamy równoważnie do wykazania
3abc(a+b+c)>(ab \sin{ \gamma }+ bc \sin{ \alpha } +ac \sin{ \beta })(ab+bc+ac)
Ponieważ sinusy są mniejsze od jeden (i większe od zera - to sie dalej przyda), to
2(a^2bc+ab^2c+abc^2)>a^2bc(\sin{ \gamma } +\sin{ \beta })+ab^2c(\sin{ \alpha } +\sin{ \gamma })+abc^2(\sin{ \alpha } +\sin{ \beta })\ \ (*)
ponadto mamy (przy standardowych oznaczeniach)
2R-b>0
czyli dalej równoważnie
2Rc-bc>0\\
c-b \cdot \frac{c}{2R}>0
i z tw sinusów:
c-b \cdot sin{\gamma}>0.
Analogicznie a-c \sin{\alpha}>0 oraz b-a \sin{\beta}>0. Zatem
a^2b(c-b \cdot sin{\gamma})+b^2c(a-c \sin{\alpha})+c^2a(b-a \sin{\beta})>0
gdyby inaczej zapisać, to mamy
a^2bc+ab^2c+abc^2>a^2b^2\sin{\gamma}+b^2c^2\sin{\alpha}+a^2c^2\sin{\beta}
Dodając do tej nierówności nierówność (*) otrzymujemy tezę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2011, o 01:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 69
Lokalizacja: W pewnym otoczeniu nieskończoności (Wrocław)
To ja pokażę inny sposób :)

abc(a+b+c)>2P(ab+bc+ac)

P = \frac{abc}{4R}

abc(a+b+c)>2\frac{abc}{4R}(ab+bc+ac)

2R(a+b+c)>(ab+bc+ac)

Bez straty ogólności możemy założyć, że a \ge b \ge c.
Teraz z twierdzenia sinusów przekształcamy nierówność do:

\frac{a}{sin \alpha }(a+b+c) >(ab+bc+ac)


\frac{(a^2+ab+ac)}{sin \alpha }>(ab+bc+ac)

Jeśli \ sin  \alpha  = 1, to z twierdzenia pitagorasa nierówność sprowadza się do prawdziwej (bo a jest najdłuższym bokiem) nierówności a^2 > bc. Niech więc sin  \alpha  < 1 , wtedy

\frac{(a^2+ab+ac)}{sin \alpha }>a^2+ab+ac \ge (ab+bc+ac),

a^2 \ge bc

Co jest prawdą, bo założyliśmy a \ge b \ge c :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij nierówność dla dowolnego trójkąta  brolly  2
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl