szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2011, o 00:37 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7440
Lokalizacja: Wrocław
Kryterium ilorazowe


Dla f, g : \mathbb N \to (0, \infty) oznaczmy f \sim g, gdy

\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=a \in (0, \infty).

Nietrudno sprawdzić, że relacja \sim jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, jest więc relacją równoważności.


Przykłady

  • a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + a_{k-2} n^{k-2} + \ldots + a_1 n + a_0 \sim n^k gdy a_k > 0

  • \sum_{j=1}^k a_j n^{\lambda_j} \sim n^{\lambda_k} gdy a_k > 0 i \lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_k (przykład wcześniejszy wynika stąd dla \lambda_j \in \{0, 1, 2, \ldots \})

  • a_n+b_n \sim a_n jeśli \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n}=c \in \left< 0, \infty \right)

  • \ln n^p \sim \ln n dla p \in (0, \infty)

  • \left| (n+1)^p-n^p \right| \sim n^{p-1} dla p \neq 0

    np. \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \sim \frac{1}{n^2}

  • \log_c \left(1+a_n \right) \sim a_n \sim c^{a_n}-1 o ile \lim_{n \to \infty} a_n=0 oraz c>1

    (w szczególności \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) \sim \frac{1}{n} \sim \sqrt[n]{c}-1)

  • \tg a_n \sim a_n \sim \sin a_n o ile \lim_{n \to \infty} a_n = 0

  • \ctg a_n \sim \frac{1}{a_n} o ile \lim_{n \to \infty} a_n =0

  • \sqrt[n]{n!} \sim n
    (wynika to ze wzoru Stirlinga: n! = \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n} \cdot e^{\lambda_n} dla pewnego \lambda_n \in \left( \frac{1}{12n+1}, \frac{1}{12n} \right)

    lub z faktu, że \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} dla a_n=\frac{n!}{n^n})


Fakt.

Gdy a_n \sim a'_n i b_n \sim b'_n, to

  • a_n \cdot b_n \sim a'_n \cdot b'_n

  • \frac{a_n}{b_n} \sim \frac{a'_n}{b'_n}

  • \left( a_n \right)^c \sim \left(a'_n \right)^c dla c \in \mathbb R

  • Gdy \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a'_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{b'_n}, to a_n + b_n \sim a'_n + b'_n

Dowód:    



Gdy a_n \sim b_n, to na mocy kryterium ilorazowego szeregi

\sum_{n=1}^{\infty} a_n oraz \sum_{n=1}^{\infty} b_n

są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Wykorzystamy to do automatycznego badania zbieżności niektórych szeregów. Będziemy potrzebowali wiedzieć, że


(1) Szereg \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} jest zbieżny dla \alpha>1 i rozbieżny dla \alpha \le 1;


(2) Szereg \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2 n} jest zbieżny a \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n} rozbieżny;


(3) Szereg \sum_{n=1}^{\infty} q^n jest zbieżny, gdy |q|<1 i rozbieżny, gdy |q| \ge 1.



\mbox{1. } \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n} \tg \frac{1}{n}
Rozwiązanie:    


\mbox{2. } \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{\sqrt{n}} \cos \frac{1}{n^2}
Rozwiązanie:    


\mbox{3. } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8n^4+ \frac{1}{4}\sqrt{n} + \pi n^e}{3n^{\frac{17}{3}} + 27n^5 -100n^3}
Rozwiązanie:    


\mbox{4. } \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}
Rozwiązanie:    


\mbox{5. } \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{ \left| \ln \cos \frac{1}{n} \right|}
Rozwiązanie:    


\mbox{6. } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ctg \frac{1}{n^2}}{n^3}
Rozwiązanie:    


\mbox{7. } \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln \left(n^2+1 \right)}{n \ln^3 n}
Rozwiązanie:    


\mbox{8. }\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{\ln^2 n}
Rozwiązanie:    


\mbox{9. }\sum_{n=1}^{\infty} \left( \sqrt[n]{25} - 2 \sqrt[n]{5} +1 \right)
Rozwiązanie:    



Wszelkie uwagi na PW mile widziane.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kryterium ilorazowe - zadanie 3  Watari  1
 kryterium ilorazowe  piotrs67  1
 Kryterium ilorazowe - zadanie 4  SZEKEL  5
 Kryterium ilorazowe - zadanie 7  Quaerens  5
 Kryterium ilorazowe - zadanie 6  dziubo1  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl