szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 gru 2011, o 15:29 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: xxx
udowodnij, że jesli długości wsystkich boków trójkąta oraz dwusiecznych są liczbami wymiernymi to i sinusy wszystkich jego kątów są liczbami wymiernymi.

o co tu chodzi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2011, o 18:12 
Użytkownik

Posty: 636
Lokalizacja: Ruda Śląska
Jeżeli długości boków trójkąta oznaczymy przez a,b,c, a długości dwusiecznych kątów tego trójkąta przez d,e,f i a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Q}. Niech \alpha , \beta , \gamma będą miarami kątów tego trójkąta, to \sin\alpha,\sin\bata,\sin\gamma\in\mathbb{Q}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2012, o 00:22 
Użytkownik

Posty: 636
Lokalizacja: Ruda Śląska
Wychodzi to z twierdzenia cosinusów.
Niech \alpha leży na przeciw a, \beta na przeciw b i \gamma na przeciw c oraz a,b,c\in\mathbb{Q}. Wtedy:
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\
2ab\cos\gamma=a^2+b^2-c^2\\
\cos\gamma= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\in\mathbb{Q}\\
\cos\beta= \frac{a^2-b^2+c^2}{2ac}\in\mathbb{Q}\\
\cos\alpha= \frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}\in\mathbb{Q}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sty 2012, o 08:31 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: xxx
No tak ale przecież chodzi o wymierność sinusów tych kątów. Poza tym nie została wykorzystana informacja o wymierności dwusiecznych. Więc chyba nie do końca te cosinusy wystarczą?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 sty 2012, o 14:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1388
Lokalizacja: Katowice
krócej nie umiem:

wprowadźmy oznaczenia: standardowo przyjmiemy trójkąt ABC, boki a,b,c oraz kąty \alpha, \beta, \gamma, niech AD, BE, CF to będą te dwusieczne, punkt I to środek okręgu wpisanego, K,L,M to punkty styczności okręgu wpisanego z bokami BC, CA, AB

można pokazać, że AI = AD \cdot \frac{b+c}{a+b+c}, więc AI \in \mathbb Q, analogicznie reszta

teraz \sin \frac \alpha 2 = -\cos \left( \frac \pi 2 + \frac \alpha 2 \right) = -\cos \angle BIC = -\frac{BI^2 + CI^2 - BC^2}{2BI \cdot CI} \in \mathbb Q

ponadto \cos \frac \alpha 2 = \frac{AM}{AI} = \frac{-a+b+c}{2AI} \in \mathbb Q

Ostatecznie \sin \alpha = 2 \sin \frac \alpha 2 \cos \frac \alpha 2 \in \mathbb Q i analogicznie \sin \beta, \sin \gamma \in \mathbb Q
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sty 2012, o 21:03 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: xxx
Wow... :)
No to jeszcze pytanie AI jest przedstawione za pomocą twierdzenia o dwusiecznej? bo jeszcze tego nie widzę tylko jakoś.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 sty 2012, o 21:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1388
Lokalizacja: Katowice
dwukrotnie stosując twierdzenie o dwusiecznej mamy \frac {ID}{AI} = \frac{CD}{AC} = \frac{BC+CD}{AB+AC} = \frac{a}{b+c}

dodając jedynkę stronami mamy \frac{AD}{AI} = \frac{a+b+c}{b+c}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sty 2012, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: xxx
Jeszcze raz : Wow
Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz długość odcinka. Okrąg wpisany w trójkąt  lookasiu87  3
 trójkąt równoramienny - zadanie 38  justyska70  0
 Alfa Beta i trójkąt  krlfilip  1
 Trójkąt równoboczny+wektory  devilxx  3
 Trójkąt równoboczny - zadanie 24  nagiewont  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl