szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2011, o 23:53 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: ttm
W jaki sposób znaleźć kres górny zbioru \left\{ 
x^2+y^2+z^2 \; : \; x,y,z>0, \;\; x+y+z \le a, \;\; xyz \ge b
\right\}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2011, o 00:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 640
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Ja bym próbował tak:
Wprowadziłbym zbiór A  \subseteq \mathbb{R}^3: \ A = \{ (x,y,z): x,y,z > 0, x+y+z \le a, xyz \ge b \}.

Dalej, podzieliłbym go na 4 kawałki:
1. Jego wnętrze \hbox{Int} A
2. Rozmaitość dwuwymiarową B = \{ (x,y,z): x,y,z >0, x+y+z<a, xyz = b \}
3. Rozmaitość dwuwymiarową C = \{ (x,y,z): x,y,z >0, x+y+z=a, xyz > b \}
4. Resztę, czyli rozmaitość jednowymiarową D = \{ (x,y,z): x,y,z > 0, x+y+z=a, xyz = b \}

Dalej, wprowadziłbym funkcję f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}: f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 i znalazłbym jej kres górny na A (a tak naprawdę jej największą wartość na A, który przecież jest zwarty) szukając jej największej wartości na każdym z tych 4 kawałków: na \hbox{Int} A sprawdziłbym najpierw gdzie \mbox{D}f(x,y,z) = 0, a na pozostałych 3 kawałkach metodą Lagrange'a.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2011, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: ttm
Jedynym punktem krytycznym funkcji f jest (0,0,0)\not\in A. Właśnie nie wiem jak zbadać ewentualne ekstrema we wnętrzu A.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2011, o 22:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 640
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Stąd, że f nie ma punktów krytycznych w A wnioskujemy, że maksimum nie jest osiągane we wnętrzu A. Dalej szukamy maksimum na brzegu, sprawdzając (np. dla zbioru B) kiedy zachodzi \mbox{D}f(x,y,z) = \lambda \cdot \mbox{D}g(x,y,z), dla pewnego \lambda \in \mathbb{R} (g to funkcja dana wzorem g(x,y,z) = xyz - b).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 zbiór wartości funkcji - zadanie 5  julkaaa  6
 zbiór wartosci - zadanie 2  Mapedd  2
 Wykazać, że zbiorem wartości funkcji jest zbiór R  Szczypior  2
 zbiór wartości funkcji - zadanie 6  danrok  15
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl