szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2012, o 14:52 
Użytkownik

Posty: 178
Lokalizacja: Zielona Góra
Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnić:

a) 6|\left( n^{3}-n\right) dla n \in N i n \ge 2
b) 6|\left( 8 ^{n}-2^{n}\right) dla n \in N

Nie potrafię udowadniać podzielności od momentu sprawdzania jej dla n+1 korzystając z zasady indukcji matematycznej dlatego bardzo prosił bym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2012, o 17:34 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Powiedzmy podpunkt b). Sprawdzenie dla n=1 jest oczywiste.
Założenie indukcyjne: Dla pewnego n\in\mathbb{N} liczba 8^n-2^n jest podzielna przez 6, co oznacza, że istnieje liczba k, taka, że 8^n-2^n=6k.
Teza indukcyjna: Liczba 8^{n+1}-2^{n+1} jest podzielna przez 6, czyli istnieje liczba l, taka, że 8^{n+1}-2^{n+1}=6l.
Dowód:
8^{n+1}-2^{n+1}=8\cdot8^n-2\cdot2^n=6\cdot8^n+2\cdot8^n-2\cdot2^n=6\cdot8^n+2(8^n-2^n)\stackrel{Z_i}{=}6\cdot8^n+2\cdot6k=6(8^n+2)=6l
gdzie l=8^n+2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2012, o 18:54 
Użytkownik

Posty: 178
Lokalizacja: Zielona Góra
Dzięki wielki a czy mógłbyś rozwiązać jeszcze podpunkt a)? :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2012, o 19:06 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Początek analogiczny, potem już dowód
(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=n^3+3n^2+3n-n=(n^3-n)+3n^2+3n\stackrel{Z_i}{=}
6k+3(n^2+n)=6k+3[n(n+1)]\stackrel{(*)}{=}6k+3\cdot2l=6(k+l)=6m
Równość (*) zachodzi, bo n(n+1) jest liczbą parzystą jako iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2012, o 19:09 
Użytkownik

Posty: 178
Lokalizacja: Zielona Góra
Jeszcze raz dzięki :mrgreen:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód indukcji matematycznej  slimakslimak  5
 Dwa zadania z indukcji - zadanie 2  Jumper1355  2
 Zadania z indukcji - zadanie 3  Zahion  11
 udowodnij stosujac zasade indukcji matematycznej  ja89  0
 Uzasadnij metodą indukcji matematycznej  Shinigami96  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl