szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2012, o 03:06 
Użytkownik

Posty: 411
Lokalizacja: Kraków
Znaleźć rzut punktu P=\left( 3,5,4\right) na prostą l :  \begin{cases} x=-2t+1 \\ y=t \\ z=5 \end{cases}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2012, o 11:33 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Wektor kierunkowy prostej l to: \vec{u}=[-2,1,0]. Na prostej tej obieramy punk Q, jego współrzędne to Q=(-2t+1,t,5). Obliczmy współrzędne wektora, który będzie wektorem kierunkowym prostej rzutującej \vec{PQ}=[-2t+3,t-1,5]. Prosta rzutująca jest prostopadła do danej, a zatem ich wektory kierunkowe muszą być prostopadłe, skąd (z warunku prostopadłości wektorów) mamy
\vec{u}\circ\vec{v}=0
-2(-2t+3)+1(t-1)+0\cdot5=0
5t=7
t=\frac75
I teraz obliczmy współrzędne punktu Q=\left(-\frac95,\frac75,5\right).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2013, o 17:19 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
a skąd wziąłeś współrzędne wektora rzutującego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2013, o 18:13 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Wektor rzutujący jest wektorem kierunkowym prostej przechodzącej przez P i prostopadłej do l. Dlatego znalazłem równanie prostej przechodzącej przez P i przez jakiś punkt Q na prostej l, tak, żeby ta prosta była prostopadła. No i przy okazji ten punkt Q jest szukanym rzutem.
Wyobraź to sobie tak: punkt P jest ustalony. Wybieramy jakikolwiek punkt Q na danej prostej i zaczynami nim przesuwać po prostej (zmieniać wartość parametru t). W pewnym momencie ustawimy tę ruchomą prostą tak, że będzie prostopadła do danej. Wtedy tym szukanym rzutem będzie ruchomy punkt.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2013, o 21:29 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
zastanawia mnie jeszcze że do rozwiązania zadania nie użyłeś w żadnym miejscu podanego punktu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2013, o 22:36 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Użyłem do obliczenia współrzędnych wektora \vec{PQ} :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2013, o 23:35 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
kurna głupieję :cry: możesz to rozpisać ? :oops:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2013, o 00:35 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Jeszcze raz, bo chyba coś w rachunkach pokręciłem, teraz na spokojnie i nie w głowie.
Punkt P=(3,5,4), \vec{u}=[-2,1,0] - wektor kierunkowy l.

na prostej l wybieram jakiś punkt Q=(-2t+1,t,5).

obliczam współrzędne wektora \vec{v}=\vec{PQ}=[-2t+1-3,t-5,5-4]=[-2t-2,t-5,1].

obliczam iloczyn skalarny \vec{u}\circ\vec{v}=-2(-2t-2)+1(t-5)+0\cdot1=4t+4+t-5=5t-1

iloczyn skalarny musi być równy zeru (warunek prostopadłości), czyli

5t-1=0

t=\frac15.

Dla obliczonej wartości t obliczamy współrzędne punktu Q

Q=\left(-2\cdot\frac15+1,\frac15,5\right)=\left(\frac35,\frac15,5\right)

i tak jak wcześniej wyjaśniałem jest to jednocześnie rzut punktu P na prostą l (oczywiście rzut prostokątny, bo w treści zadania nie ma mowy o rzucie w jakimś określonym kierunku, a domyślnie przyjmuje się, że mowa wtedy o rzucie prostokątnym).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2013, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
Wielkie dzięki :mrgreen:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dana prosta i punkt - oblicz najmniejszą odległość  Anonymous  3
 Wyznacz parametr a dla którego prosta jest styczna do okręgu  bobobob  1
 Zaokrąglenie punktu do płaszcyzny.  keeeele  1
 jednokladnosc punktu  ania-g1  3
 Wyznacz współrzędne punktu C trójkąta  mateusz_rad  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl