szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: badanie funkcji
PostNapisane: 12 sty 2012, o 16:49 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Przeprowadzić wszechstronne badanie funkcji i wykonać jej wykres
f(x)= \frac{x}{x^{2}-4}

Czy mógłby ktoś pomóc to rozwiązać?
Na razie mam tyle:
•dziedzina D=\mathbb{R} \left\{-2,2 \right\}
•miejsce zerowe x=0
•parzystość,nieparzystość
funkcja jest nie parzysta bo f(-x)=-f(x)

• okresowość
• granice
• asymptoty
• monotoniczność
• ekstremum
• wypukłość, wklęsłość
• punkt przegięcia
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: badanie funkcji
PostNapisane: 12 sty 2012, o 17:17 
Użytkownik

Posty: 437
Lokalizacja: Warszawa/Zamość
myślę że badania funkcji nikt tu za Ciebie nie napisze ponieważ jest to dość sporo pracy
jeśli masz jakieś konkretne pytania to mów śmiało
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: badanie funkcji
PostNapisane: 12 sty 2012, o 17:28 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
zależy mi aby mieć rozwiązanie i to rozumieć dlatego każda pomoc jest bardzo mile widziana na początek fajnie jakby ktoś napisał czy pierwsze trzy kropki są ok i jak sprawdzić okresowość bo niestety nie umiem sobie z tym poradzić
nie liczę że ktoś rozwiąże to zadanie w całości za mnie ale może pojedyncze kropki pomoże rozwiązać
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: badanie funkcji
PostNapisane: 12 sty 2012, o 17:44 
Użytkownik

Posty: 437
Lokalizacja: Warszawa/Zamość
to, co jest napisane, jest dobrze
w tego typu funkcjach widać od razu że nie są okresowe i pisze się to w ciemno bez żadnego sprawdzania
następnie wyznaczasz asymptoty licząc granice w 2 i -2
później liczysz pierwszą i drugą pochodną i z odpowiednich warunków badasz monotoniczność itd
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: badanie funkcji
PostNapisane: 12 sty 2012, o 18:16 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
to jeżeli chodzi o granice to gdy zmierza do nieskończoności to jest nieskończoność, a gdy do -nieskończoności to -nieskończoność, a gdy zmierza do 2 i -2 to 0?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: badanie funkcji
PostNapisane: 12 sty 2012, o 18:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 260
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Jak nikt? :D
To jest dobrze. Okresowa nie jest, bo musiałby zajść warunek:
Istnieje takie t, które dla każdego x\in D _{f} mamy f(x)=f(x+t). Jak podstawisz i rozwiążesz ze względu na t, dostaniesz coś zależne od x, a miało być dla każdego x, więc nie jest okresowa.

Granice na krańcach dziedziny, tzn. w \pm  \infty, \pm 2. W obu nieskończonościach wychodzi 0, a 2 i -2 trzeba liczyć lewostronną i prawostronną. I tak w 2 z prawej strony wychodzi + \infty, z lewej - \infty, a dla -2 z prawej - \infty i z lewej + \infty. Dlaczego? Bo jak w ułamku \frac{2}{r} będziesz brał coraz mniejsze r (ale dodatnie), to cały ułamek będzie coraz bardziej rósł, czyli dążył do nieskończoności. Gdyby r było ujemne, ułamek by malał w nieskończoność.

Czyli mamy 2 asymptoty pionowe, x= \pm 2. Teraz szukamy ukośnych typu y=ax+b, gdzie:
a= \lim_{ x\to - \infty } \frac{f(x)}{x}=0 (gdybyśmy wzięli granicę przy + \infty byłaby to asymptota prawostronna, ale też wychodzi 0), zaś
b= \lim_{x \to- \infty  }\left[ f(x)-ax\right] = \lim_{x \to- \infty  }f(x)=0 (tak samo prawostronnie). Czyli jedyną asymptotą ukośną jest pozioma y=0.
Do monotoniczności jest nam potrzebna już pochodna:
f'(x)= \frac{-x^{2}-4}{(x^{2}-4)^{2}} (ze wzoru na pochodną ilorazu). Ze względu na mianownik nasza pochodna jest zawsze mniejsza od zera, więc funkcja f jest na całej dziedzinie malejąca (przedziałami). W związku z tym nie ma mowy o ekstremach.

Do badania wypukłości potrzeba nam drugiej pochodnej:
f''(x)= \frac{2x^{3}+24x}{(x^{2}-4)^{3}}. Rozważmy, gdzie jest wypukła, tzn. dla jakich x mamy f''(x)<0. Sprowadza się to do rozwiązania nierówności wielomianowej:
x(x^{2}+12)(x-2)^{3}(x+2)^{3}<0. Dostajemy w rozwiązaniu:
f''<0 gdy x \in (-2,0) \cup (2,+ \infty),
f''>0 gdy x \in (- \infty,-2) \cup (0,2),
f''=0 gdy x=0 (dla 2 i -2 też, ale nie należą do dziedziny), więc to jedyny punkt przegięcia. Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: badanie funkcji
PostNapisane: 12 sty 2012, o 18:25 
Użytkownik

Posty: 437
Lokalizacja: Warszawa/Zamość
przyznaję, że nie doceniłem forumowiczów - szacun Wojtolino
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: badanie funkcji
PostNapisane: 12 sty 2012, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
bardzo dziękuję za pomoc ;) myślę, że dzięki temu w końcu to ogarnę
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: badanie funkcji
PostNapisane: 12 sty 2012, o 18:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 260
Lokalizacja: Krosno / Poznań
Jak coś to pytaj spokojnie, jestem przy kompie jakieś 40 minut jeszcze, także na bieżąco pomogę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 badanie funkcji - zadanie 2  gkar  4
 badanie funkcji - zadanie 19  damcios  1
 Badanie funkcji - zadanie 22  jamer91  1
 Badanie funkcji - zadanie 24  maciek.st  4
 Badanie funkcji - zadanie 25  tomiz12  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl