szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2007, o 01:54 
Gość Specjalny

Posty: 2234
Lokalizacja: Warszawa
Nierówności

Punktem stałym w zadaniach olimpijskich od lat są nierówności (chyba jeden z ulubionych działów wszystkich matematyków). Najczęściej do rozwiązywania nich wykorzystuje się nierówności pomiędzy średnimi, ale nie zawsze one wystarczają. Przedstawię tu spis wszystkich znanych mi nierówności.

Nierówności:
1)Nierówność Cauchy'ego-Schwarza
2)Nierówność Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela
3)Nierówność Czebyszewa
4)Nierówność Minkowskiego
5)Nierówność Holdera
6)Nierówność Jensena
7)Nierówność Hardy'ego-Littlewood'a-Poly (czyli nierówność Karamaty)
8)Nierówność Popoviciu
9)Nierówność Nesbitt'a
10)Nierówność Bernoullie'go
11)Nierówność Schura
12)Uogólniona Nierówność Schura
13)Nierówność Turkevici
14)Nierówność Huygens'a
15)Nierówność Kirana Kedlaya'i
16)Nierówność Akerberga
17)Uogólniona nierówność Czebyszewa
18)Nierówność Kantorovich'a
19)Nierówność Pietro Mengoli
20)Nierówność Hadwiger'a-Finsler'a
21)Nierówność Wilf'a
22)Uogólniona nierówność Carlemana
23)Nierówność Hilberta
24)Nierówność Hardy'ego
25)Nierówność Carlesona
26)Nierówność Maclaurina
27)Nierówność Newtona
28)Nierówność Abela
29)Nierówność Muirhead'a


1)Nierówność Cauchy'ego-Schwarza:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a_{1},a_{2},...,a_{n} i b_{1},b_{2},...,b_{n} zachodzi
(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2})(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}) \geqslant (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^{2}

2)Nierówność Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela:
Niech a_{1},a_{2},...,a_{n} to liczby dodatnie, a b_{1},b_{2},...,b_{n} niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wtedy zachodzi:
\sum_{i=1}^{n}\frac{b_{i}^{2}}{a_{i}} \geqslant \frac{(\sum_{i=1}^{n}b_{i})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}

3)Nierówność Czebyszewa:
Dla liczb rzeczywistych a_{1} \geqslant a_{2} \geqslant ... \geqslant a_{n} \geqslant 0 i liczb rzeczywistych b_{1} \geqslant b_{2} \geqslant ... \geqslant b_{n} zachodzi:
\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}{n} \geqslant \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n}*\frac{\sum_{i=1}^{n}b_{i}}{n}

4)Nierówność Minkowskiego:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a_{1},a_{2},...,a_{n} oraz b_{1},b_{2},...,b_{n} zachodzi:
\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}} \geqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{2}}

5)Nierówność Holdera:
Niech a_{1},a_{2},...,a_{n} i b_{1},b_{2},...,b_{n} będą dowolnymi liczbami dodatnimi, a p i q takimi liczbami rzeczywistymi, że \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. Wtedy zachodzi:

a)Jeśli p i q są przeciwnych znaków (p*q<0) zachodzi:
\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}  \ge  \sqrt[p]{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{p} } * \sqrt[q]{ \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{q} }

b)Jeśli p i q są tych samych znaków (p*q>0) powyższa nierówność zachodzi w drugą stronę.

6)Nierówność Jensena:
Dla funkcji f wypukłej w przedziale P  \subset \RR, dowolnych liczb x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}  \in P oraz liczb nieujemnych a_{1},a_{2},...,a_{n}, takich, że a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1 zachodzi:

f(\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}) \leqslant \sum_{i=1}^{n}a_{i}f(x_{i})
Dla funkcji wklęsłej przy tych samych założeniach nierówność zachodzi w drugą stronę.

7)Nierówność Hardy'ego-Littlewood'a-Poly (Nierówność Karamaty):
Dla rzeczywistych x_{1},x_{2},...,x_{n} oraz y_{1},y_{2},...,y_{n} oraz
x_{1}+x_{2}+...+x_{i} \geqslant y_{1}+y_{2}+...+y_{i} dla i=1,2,...,n-1 przy czym x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=y_{1}+y_{2}+...+y_{n} i (x_{i},y_{i}) \in X a f to funkcja wypukła i rosnąca w X zachodzi:
f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n}) \geqslant f(y_{1})+f(y_{2})+...+f(y_{n})

8)Nierówność Popoviciu:
Jeżeli f jest funkcją wyppukłą w przedziale X oraz (x,y,z) \in X
wtedy zachodzi:
f(x)+f(y)+f(z)+3f(\frac{x+y+z}{3}) \geqslant 2f(\frac{x+y}{2})+2f(\frac{y+z}{2})+2f(\frac{z+x}{2}

9)Nierówność Nesbitt'a:
Dla dowolnych liczb (a,b,c) \in R_{+} zachodzi:
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geqslant \frac{3}{2}

10)Nierówność Bernoulli'ego:
Jeśli a i b są takimi liczbami rzeczywistymi, że a>-1, a\neq0,b\neq0 i b\neq1 wtedy zachodzi:
(1+a)^{b} > 1+ab gdy b>1

11)Nierówność Schura:
Dla (a,b,c) \in R_{+} i r \in R zachodzi:
a^{r}*(a-b)(a-c)+b^{r}*(b-a)(b-c)+c^{r}*(c-a)(c-b) \geqslant 0

12)Uogólniona nierówność Schura (Nierówność Vornicu-Schura):
Jeśli f to nieujemna funkcja wypukła, to zachodzi:
f(a)(a-b)(a-c)+f(b)(b-a)(b-c)+f(c)(c-a)(c-b) \geqslant 0

13)Nierówność Turkevici:
Dla dowolnych liczb rzeczywistych x_{1},x_{2},...,x_{n}>0 zachodzi:
(n-1)(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2})+n\sqrt[n]{(x_{1}*x_{2}*...*x_{n})^{2}} \geqslant (x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^{2}

14)Nierówność Huygens'a:
Dla dowolnych liczb nieujemnych x_{1},x_{2},...,x_{n} zachodzi:
(1+x_{1})*(1+x_{2})*...*(1+x_{n}) \geqslant (1+\sqrt[n]{x_{1}*x_{2}*...x_{n}})^{n}

15)Nierówność Kirana Kedlay'a:
Jeśli An będzie średnią arytmetyczną, natomiast Gn będzie średnią geometryczną z tych samych liczb dodatnich, wtedy:
G_{An} \geqslant A_{Gn}

16)Nierówność Akerberga:
Dla liczb nieujemnych a_{1},a_{2},...,a_{n} \ n\geq 2 zachodzi nierówność:
(\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n})^{n}\geq a_{n}(\frac{\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}}{n-1})^{n-1}

17)Uogólniona nierówność Czebyszewa:
Niech f,g \ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \ g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} będą niemalejącymi funkcjami. Niech \{a_{i}\}_{i=0}^{n} będzie ciągiem liczb nieujemnych, którego suma wszystkich wyrazów jest równa 1. Wtedy dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych x_{1}\leq x_{2}\leq ... \leq x_{n} zachodzi nierówność:
\sum__i=1}^{n}f(x_{i})g(x_{i})a_{i}\geq (\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})a_{i})(\sum_{i=1}^{n}g(x_{i})a_{i})

18)Nierówność Kantorovich'a:
Niech \{a_{k}\}_{k=1}^{n} będzie niemalejącym ciągiem liczb dodatnich, a \{w_{k}\}_{k=1}^{n} będzie ciągiem liczb nieujemnych, których suma jest równa 1. Wtedy zachodzi nierówność:
(\sum_{k=1}^{n}w_{k}x_{k})(\sum_{k=1}^{n}\frac{w_{k}}{x_{k}})\geq \frac{(x_{1}+x_{n})^{2}}{4x_{1}x_{n}}

19)Nierówność Pietro Mengoli:
Jeśli x>1 zachodzi nierówność:
\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}> \frac{3}{x}

20)Nierówność Hadwiger'a-Finsler'a:
Dla dowolnego trójkąta o bokach a,b,c oraz polu S zachodzi nierówność:
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4\sqrt{3}S

21)Nierówność Wilf'a:
Niech P=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n} będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych. Jeśli A=\{b_{1},...,b_{n}\} będzie zbiorem pierwiastków zespolonych wielomianu, to dla dowolnej liczb zespolonej z\notin A zachodzi nierówność:
\frac{|\frac{P'(z)}{P(z)}|}{ncos \alpha} \geq |\frac{a_{n}}{P(z)}|^{\frac{1}{n}},
gdzie \alpha jest najmniejszym kątem takim, że kąt o miarze \alpha i wierzchołku w z zawiera zbiór A

22)Uogólniona nierówność Carlemana:
Dla liczb a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb{R}_{+} zachodzi nierówność:
\frac{e}{2n^{2}}\sum_{k=1}^{n}(2k-1)a_{k}\geq \prod_{k=1}^{n}a_{k}^{\frac{1}{n}}

23)Nierówność Hilberta:
Dla dowolnych ciągów liczb rzeczywistych \{a_{k}\}_{k=1}^{\infty} \ \{b_{k}\}_{k=1}^{\infty} zachodzi nierówność:
\pi \sqrt{(\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{2})(\sum_{l=1}^{\infty}b_{l}^{2})}\geq \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{a_{k}b_{l}}{k+l}

24)Nierówność Hardy'ego:
Dla dowolnej całkowalnej funkcji f:(0,T)\rightarrow \mathbb{R} zachodzi nierówność:
\int\limits_{0}^{T}(\frac{1}{x}\int\limits_{0}^{x}f(u)du)^{2}dx\leq 4\int\limits_{0}^{T}f^{2}(x)dx

25)Nierówność Carlesona:
Niech f:<0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} będzie wypukłą funkcją taką, że f(0)=0. Wtedy dla a>-1 zachodzi nierówność:
\int\limits_{0}^{\infty}x^{a}e^{-\frac{f(x)}{x}}dx\leq e^{a+1}\int\limits_{0}^{\infty}x^{a}e^{-f'(x)}dx

26)Nierówność Maclaurina:
Niech a_{1},a_{2},...,a_{n} będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, natomiast \forall_{k\in \{1,2,...,n\}}S_{k}=\frac{\sum_{sym}a_{1}a_{2}...a_{k}}{{n\choose k}}.
Wtedy dla dowolnych liczb a,b\in \{1,2,...,n\} \ a\leq b zachodzi nierówność:
S_{a}^{\frac{1}{a}}\geq S_{b}^{\frac{1}{b}}

27)Nierówność Newtona:
Niech a_{1},...,a_{n} oraz S_{k} będą zdefiniowane jak powyżej. Wtedy dla dowlnej liczby c\in \{2,...,n\} zachodzi nierówność:
S_{c}^{2}\geq S_{c-1}S_{c+1}

28)Nierówność Abela:
Dla dowolnych liczb zespolonych z_{1},z_{2},...,z_{n} zdefinujmy S_{k}=z_{1}+z_{2}+...+z_{k} \ k\in \{1,2,...,n\}. Dla dowolnego nierosnącego ciągu liczb nieujemnych \{a_{i}\}_{i=1}^{n} zachodzi nierówność:
|\sum_{i=1}^{n}a_{i}z_{i}|\leq a_{1}max_{k\in \{1,2,...,n\}}S_{k}

29)Nierówność Muirhead'a:
Niech x_{1},x_{2},...,x_{n} będą liczbami rzeczywistymi. Niech a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{k} oraz b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{k} \ k\in \{1,2,...,n\} będą ciągami liczb rzeczywistych spełniającymi warunki:
I)\sum_{i=1}^{k}a_{i}=\sum_{i=1}^{k}b_{i}
II)\forall_{j\in \{1,2,...,n\}}\sum_{i=1}^{j}a_{i}\geq \sum_{i=1}^{j}b_{i}
Wtedy zachodzi nierówność:
\sum_{sym}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{k}^{a_{k}}\geq \sum_{sym}x_{1}^{b_{1}}x_{2}^{b_{2}}...x_{k}^{b_{k}}


To by było na tyle, jeśli ominąłem jakąś nierówność, to niech ktoś ją tu wrzuci za mnie :razz:
Tak właściwie, to mógłbym wrzucić jeszcze kilka (-naście?) nierówności, ale dotyczą one w większości przestrzeni unitarnych, całek itd. itp., a jako że ten artykuł jest stworzony z myślą o olimpiadzie to postanowiłem się ograniczyć tylko do wybranych.

---

Dziękuję też poniższym użytkownikom (cytuję ich posty bez żadnej zmiany):

mol_ksiazkowy:
nierówność Karlemana: a_j>0, --> \sum_{j=1}^{n} \sqrt[j] {a_1.....a_j}   [tex]\prod_{j=1}^{n} (1+a_j) \geq (1+\sqrt[n] {a_1.....a_j})^n

! nierówność Radona: a_j, b_j >0, p>0 --> \sum_{j=1}^{n} \frac{a_j^{p+1}}{b_j^p} \geq \frac{(\sum_{j=1}^{n} a_j)^{p+1}}{(\sum_{j=1}^{n} b_j)^p}[/quote]

II n. Minkowskiego, : aj , bj >0 --> \sqrt[n]{a_1....a_n} + \sqrt[n]{b_1....b_n} \leq \sqrt[n]{(a_1+b_1)....(a_n+b_n)}
przy czym równośc jest wtw. gdy:
\frac{a_1}{b_1}=.....=\frac{a_n}{b_n}

Dowód uzyska sie z faktu SA>SG, odpowiednio przekształcajac, lub...z n. Jensena

p. tez tutaj

baQs:
nierówność Shapiro:
x_1, x_2, x_3, ... , x_n \in N  \wedge  (n \leqslant 12 gdy parzyste \vee\  n  \leqslant  23 gdy nieparzyste)
wtedy:
\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_{i+1} + x_{i+2}}  \geqslant \frac{n}{2}
dla n=3, nierówność przyjmuje postać nierówności Nesbitta wymienionej wcześniej.


Wszelkie sugestie i/lub poprawki mile widziane :wink:

---

Dodane 2012.11.01

Podziękowania należą się też użytkownikowi Ponewor, który pomógł naprawić poważne błędy (kilka nierówności zostało "uciętych"), które powstały dawno temu w czasie zmiany silnika forum.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2014, o 16:52 
Użytkownik

Posty: 5608
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
Punktem stałym w zadaniach olimpijskich od lat są nierówności (chyba jeden z ulubionych działów wszystkich matematyków). Najczęściej do rozwiązywania nich wykorzystuje się nierówności pomiędzy średnimi, ale nie zawsze one wystarczają.


30. Nierówność Aczéla:
Jeśli a_, …, a_n, b_1, …, b_n >0 oraz
a_1^2 \geq a_2^2 + ... + a_n^2 i
b_1^2 \geq b_2^2 + ... + b_n^2 to:
a_1b_1 - (a_2b_2 + ... + a_nb_n)  \geq \sqrt{(a_1^2 - (a_2^2 + ... + a_n^2) )(b_1^2 - (b_2^2 + ... + b_n^2))}
:)


31. szacowanie średnimi
Jeśli \begin{cases} x< \frac{b+c}{2}\\y<\frac{a+c}{2 }\\z<\frac{a+b}{2}\end{cases} to x+y+z <a+b +c (ale nie odwrotnie !)

i analogicznie

32. dla iloczynu
Jeśli \begin{cases} x< \sqrt{bc}\\y<\sqrt{ac}\\ z<\sqrt{ab} \end{cases} to xyz <abc (ale nie odwrotnie !)
o ile a, b, c, \ x, y, z >0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówności pomiędzy średnimi  Piotr Rutkowski  0
 okreslenie znaku nierownosci  arigo  7
 Dowód "klasycznej" nierówności  mp2  2
 Rozwiąż równanie i nierówności:  jackopla90  1
 Nierówności trygonometryczne - zadanie 24  BlackSlash  3
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl