szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2012, o 15:20 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: PL
Witajcie. Mam cztery przykłady gdzie muszę udowodnić podzielność wyrażeń przez liczby. W jednym "utknąłem", a trzy rozwiązałem jednak chciałbym by ktoś to sprawdził jeżeli może.
1. 42|(n^7-n)
Rozwiązanie:
dla n=1
1^7-1=0
42|0
założenie dla n=k
42|(k^7-k)
dowód dla n=k+1
((k+1)^7-k-1)=? i tutaj utknąłem, nie wiem jak to dalej ruszyć. Ogólnie przykład gdzie n jest podniesione do jakiejś potęgi mnie zbija z tropu.

2. 12|(10^n-4), n \ge 2
Rozwiązanie:
dla n=2
10^2-4=100-4=98
12|98, t=8
założenie dla n=k
12|(10^k-4)
dowód dla n=k+1
10^(k+1)-4=10*10^k-4=10(10^k-4)+36
12|10(10^k-4)
12|36, t=3
Na mocy Z.I.M i stwierdzeń powyżej 12|(10^n-4), n \ge 2.

3. 10|(2^{2n}-6), n \ge 2
Rozwiązanie:
dla n=2
2^{2n}-6=2^4-616-6=10
10|10, t=1
założenie dla n=k
10|(2^{2k}-6)
dowód dla n=k+1
2^2{k+1}-6=2^{2k}*2^2-6=2^{2k}*4-6=4(2^{2k}-6)+8
10|4(2^{2k}-6)
10|8, t= \frac{4}{5}
Na mocy Z.I.M i stwierdzeń powyżej 10|(2^{2n}-6), n \ge 2.

4. 11|(5^{5n+1}+4^{5n+2}+3^{5n})
Rozwiązanie:
dla n=1
5^{5n+1}+4^{5n+2}+3^{5n}=5^6+4^7+3^5=32252
11|32252, t=2932
założenie dla n=k
11|(5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k})
dowód dla n=k+1
5^{5(k+1)+1}+4^{5(k+1)+2}+3^{5(k+1)}=5^{5k+5+1}+4^{5k+5+2}+3^{5k+5}=?
Od tego miejsca nie jestem pewien, rozpisałem to tak:
=5^5*5^{5k+1}+4^5*4^{5k+2}+3^5*3^{5k}=5^5(5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k})+4^5+3^5-5^5*4^{5k+2}-5^5*3^{5k}
Lecz nie wiem, czy to jest dobrze.

5.27|(10^n+18n-28)
Rozwiązanie:
dla n=1
10^n+18n-28=10+18-28=0
27|0, t=0
założenie dla n=k
27|(10^k+18k-28)
dowód dla n=k+1
10^{k+1}+18(k+1)-28=10^{k+1})+18k+18-28=10^{k+1})+18k-10=10^k*10+18k-10=10(10^k+18k-28)+252+162k

6. 7|11^n-4^n - nie wiem jak to rozwiązać. Gubię się jak dojdę do n=k+1.


Jakby ktoś mógł sprawdzić to będę wdzięczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2012, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 1301
Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
Pierwsze możesz próbować rozpisać, ale nie wiem czy coś prostego z tego wyjdzie...

Drugie wygląda dobrze, oprócz jednego szczegółu - 100-4=96 :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 sty 2012, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 16231
3. 10|(2^{2n}-6), n \ge 2

już dla n=3 to fałsz
Poza tym t musi być liczbą naturalną. U Ciebie jest wymierną.

Zdaje się, że to będzie prawdą tylko dla parzystych n


5.27|(10^n+18n-28)
Rozwiązanie:
dla n=1
10^n+18n-28=10+18-28=0
27|0, t=0
założenie dla n=k
27|(10^k+18k-28)
dowód dla n=k+1
10^{k+1}+18(k+1)-28=10^{k+1}+18k+18-28=10^{k+1}+18k-10=10^k \cdot 10+180k-162k-280+270=10(10^k+18k-28)+270-162k=10(10^k+18k-28)+54(5-3k)
Góra
PostNapisane: 13 sty 2012, o 21:34 
Użytkownik
6) 11^n -4^n =(11-4)(11^{n-1} +11^{n-2}\cdot 4 +...+11\cdot 4^{n-2} +4^{n-1})
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 sty 2012, o 21:49 
Użytkownik

Posty: 16231
6. 7|11^n-4^n

n=k
11^k-4^k=7t \Rightarrow 11^k=7t+4^k

n=k+1

11^{k+1}-4^{k+1}=11 \cdot 11^k-4 \cdot 4^k=11 \cdot (7t+4^k)-4 \cdot 4^k=11 \cdot 7t+11 \cdot 4^k-4 \cdot 4^k=11 \cdot 7t+7 \cdot 4^k=7(11t+4^k)
t_1=(11t+4^k)


4. 11|(5^{5n+1}+4^{5n+2}+3^{5n})
Rozwiązanie:
dla n=1
5^{5n+1}+4^{5n+2}+3^{5n}=5^6+4^7+3^5=32252
11|32252, t=2932

założenie dla n=k
11|(5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k})
(5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k})=11t \Rightarrow 5^{5k+1}=11t-4^{5k+2}-3^{5k}

dowód dla n=k+1
5^{5(k+1)+1}+4^{5(k+1)+2}+3^{5(k+1)}=\\
5^5 \cdot 5^{5k+1}+4^{5k+7}+3^{5k+5}=\\
5^5 \cdot (11t-4^{5k+2}-3^{5k})+4^{5k+7}+3^{5k+5}=\\
5^5 \cdot 11t-5^5 \cdot 4^{5k+2}-5^5 \cdot 3^{5k}+4^{5k+7}+3^{5k+5}=\\
5^5 \cdot 11t-5^5 \cdot4^{5k+2}-5^5 \cdot 3^{5k}+4^5 \cdot 4^{5k+2}+3^5 \cdot 3^{5k}=\\5^5 \cdot 11t-4^{5k+2}(5^5-4^5)-3^{5k}(5^5 -3^5)=
\\5^5 \cdot 11t-2101 \cdot 4^{5k+2}-2882 \cdot 3^{5k}=11 \cdot (5^5t-191 \cdot 4^{5k+2}-262 \cdot 3^{5k})

t_1=5^5t-191 \cdot 4^{5k+2}-262 \cdot 3^{5k}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2012, o 13:38 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: PL
Nie bardzo rozumiem rozwiązania z t_{1}. Owszem, wiem, ze a|b  \Leftrightarrow b=a*t i stąd wyprowadzenie i podstawienie, ale jak można wyliczyć t, podstawiając t? Zapewne to jest dobrze, rachunkowo z pewnością, lecz pierwszy raz się spotykam z taka metoda i stąd ta niepewność.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 sty 2012, o 15:28 
Użytkownik

Posty: 16231
Obliczam t_1, podstawiając t (widzisz indeks?). Równie dobrze zamiast t_1 może być cokolwiek, np s,l
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2012, o 13:49 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: PL
Już teraz rozumiem, dziękuje za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2012, o 00:19 
Użytkownik

Posty: 102
Lokalizacja: Polska
Ja może odniosę się do pierwszego (chyba się nie spóźniłem i nie masz go jeszcze zrobionego).
Rozbijmy sobie n^7-n na czynniki pierwsze , otrzymamy:

(n-1)n(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)

Widzimy że w rozkładzie znajduje się iloczyn 3 liczb naturalnych więc liczba jest podzielna przez 6.
Teraz tylko zauważmy że z Małego twierdzenia Fermata ta liczba dzieli się przez 7.
Co dowodzi że dzieli się przez 42. cnd
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl