szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2012, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: PL
Cześć,

Mam za zadanie udowodnić, że funkcja odwrotna do funkcji odwrotnej jest samą funkcją tj.:
(f^{-1})^{-1}=f.
Dowodzę to w następujący sposób:
Mamy daną funkcje: f: S \rightarrow T oraz funkcję do niej odwrotną: f^{-1}: T \rightarrow S.
Niech g = f^{-1}, wtedy g=f^{-1} : T \rightarrow S oraz g^{-1} = (f^{-1})^{-1}: S \rightarrow T = f co kończy dowód.

Czy to wystarczy? Czy może robię to zupełnie źle? Z góry dziękuję za wszelką pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2012, o 22:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 640
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Niestety, masz źle.
Nie napisałeś niczego, z czego można by wywnioskować tezę.
Jaką masz definicję funkcji odwrotnej? Pewnie taką, że f złożone z f^{-1} w tę stronę i w drugą są identycznościami. Spróbuj z tego jakoś skorzystać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2012, o 20:21 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: PL
Tak, dokładnie taką mam definicję funkcji odwrotnej:
Funkcją odwrotną do f: S \rightarrow T nazywamy funkcję f^{-1}: T \rightarrow S jeżeli spełnione są warunki:
f^{-1} \cdot f = 1_{S}  \Leftrightarrow  f^{-1}(f(x))=x dla każdego x \in S
oraz
f \cdot f^{-1} = 1_{T}  \Leftrightarrow  f(f^{-1}(y))=y dla każdego y \in T.
Próbowałem z tego skorzystać i czy wystarczy napisać:
f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x=1_{S} dla każdego x \in S
i
f(f^{-1}(y))=f(x)=y=1_{T} dla każdego y \in T?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2012, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 640
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Nie wystarczy. W tym co napisałeś nie pojawia się (f^{-1})^{-1}, z tego co widzę, przekształcasz sobie tylko definicję i do niczego nie dochodzisz.

Nie wiem czy masz w głowie dobry obraz sytuacji. Może rozjaśnię: masz funkcję f, która jest dowolną bijekcją. No i masz funkcję f^{-1}, czyli taką bijekcję, że jak ją złożysz z f to będzie identyczność. No i masz dowieść, że jeśli składasz bijekcję g z tym f^{-1} tak, że wychodzi Ci identyczność, to f=g.
Kurczę, nie wiem, czy faktycznie udało mi się rozjaśnić.

To jest to samo, co udowodnić, że funkcja odwrotna do danej bijekcji jest dokładnie jedna.

Jak dalej będziesz się zastanawiać i do niczego nie dojdziesz, to konkretnie Ci napiszę, jak można zacząć dowodzik.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2012, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: PL
Zastanawiałem się i nie wymyśliłem, mógł byś dać mi jeszcze jedną wskazówkę?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2012, o 21:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 640
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Ustalmy bijekcję f: S  \rightarrow T.
Niech g_1, g_2: T \rightarrow S będą funkcjami spełniającymi g_i \circ f = \hbox{id}_S \ \wedge \ f \circ g_i = \hbox{id}_T \hbox{, dla } i=1,2. Ustalmy x \in T. Pokażemy, że g_1(x) = g_2(x).

Tutaj jest miejsce na Twój dowód.

Jak już to pokażesz, to masz, że g_1 = g_2, a więc że f^{-1} jest wyznaczona jednoznacznie. Wobec tego, skoro zarówno f jak i (f^{-1})^{-1} są odwrotne do f^{-1} to są równe.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl