szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2012, o 19:42 
Użytkownik

Posty: 212
Lokalizacja: Zawierzbie
Hej,
Jak wykazać, że w trójkącie ABC kąt między wysokością opuszczoną
z wierzchołka A i dwusieczną (znak kątu)A równa się połowie różnicy kątów B i C (- kąty)?

pozdr.
Damian
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2012, o 15:28 
Użytkownik

Posty: 636
Lokalizacja: Ruda Śląska
Załóżmy, że kąt przy wierzchołku B ma miarę 90^\circ, a przy wierzchołku C ma miarę 60^\circ, to przy wierzchołku A kąt ma miarę 30^\circ.
W tym prostym przypadku kąt pomiędzy dwusieczną, a kątem z wierzchołka A ma miarę 15^\circ.
\frac{90^\circ-60^\circ}{2}=15^\circ

Wieczorem się zastanowię jak rozwiązać to dla każdego przypadku. Chyba, że wcześniej sam na to wpadniesz ;)

-- 17 sty 2012, o 20:54 --

Niech kąty \alpha , \beta ,\gamma leżą odpowiednio przy wierzchołkach trójkąta ABC. Załóżmy, że \beta > \gamma. Wtedy wysokość jest bliżej kąta \beta, a dwusieczna kąta \alpha jest bliżej kąta \gamma. Co daje nam, że \alpha = \delta+\psi+\frac{ \alpha}{2}, gdzie \delta jest to kąt między wysokością trójkąta a bokiem AB, a kąt \psi jest między wysokością a dwusieczną.

\alpha + \beta +\gamma=180^\circ\\
\alpha=180^\circ-\beta -\gamma\\
\frac{\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\beta}{2} -\frac{\gamma}{2}\\
\delta=90^\circ- \beta\\
\alpha = \delta+\psi+\frac{ \alpha}{2}\\
\psi=\frac{ \alpha}{2}-\delta\\
\psi=90^\circ-\frac{\beta}{2} -\frac{\gamma}{2}-90^\circ+ \beta\\
\psi=\frac{\beta}{2} -\frac{\gamma}{2}\\
\psi=\frac{\beta-\gamma}{2}

Jeżeli założymy, że \beta < \gamma, to analogicznie \psi=\frac{\gamma-\beta}{2}. Co daje nam w ostateczności \psi=\frac{\left| \beta-\gamma\right| }{2}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zad: trygonometria w trójkącie  Szczypior  4
 środkowa w trójkącie, długości boków  mj^^  1
 W trójkącie prostokątnym - zadanie 8  malgoskk  2
 Miara kąta w trójkącie na podstawie długości boków.  Colder  3
 Wykazać, że trójkąty są podobne.  gendion  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl