szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sty 2012, o 11:36 
Użytkownik

Posty: 13
Witam serdecznie, rozwiązałem zadanie które polegało na tym że mamy wyrazy ciągu:

a_{0}  =  0\\
 a_{1}  = 15\\
 a_{2}  = 150\\
 a_{3}  = 1250\\
 a_{4}  = 9375\\
 a_{5}  = 65 625

i trzeba było znaleźć wzór na a_{n}. Wyszedł mi taki: a_{n}  =   5^{n} \frac{(n+2)(n+1)}{2}. Wszystko było by ok, tylko osoba przed którą zdaję to zadanie wymaga jeszcze abym udowodnił ten wzór poprzez indukcję matematyczną (dokładnie powiedziała, że indukcja po indeksach ciągu). Byłby ktoś w stanie pomóc mi z tym? Bardzo proszę :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sty 2012, o 12:17 
Użytkownik

Posty: 2590
Skorzystaj z zasady indukcji matematycznej.
Sprawdź wzoru ciągu dla n =1.
Zakładając, że jest prawdziwy dla n, wykaż jego prawdziwość dla n+1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2012, o 09:43 
Użytkownik

Posty: 13
A czy mógłbyś pokazać jak to ma wyglądać? Nie jest to chyba dużo pisania prawda? Jeśli możesz oczywiście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2012, o 09:46 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
A dlaczego Ty sam nie możesz?

Przy okazji: wzór się nie zgadza dla n=0, więc chyba jednak powinno być a_0=1.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2012, o 13:59 
Użytkownik

Posty: 13
Tak przepraszam, mój błąd a_{0}=1 . Nie wiem jak to zrobić, gdyż wszędzie gdzie szukam przykładów jak rozwiązywać za pomocą indukcji to wzór ma postać \cos + \cos + ... + \cos = cos. Chodzi o to, że istnieje lewa i prawa strona wzoru, a ja mam jakby tylko jedną stronę. Rozumiem, że pierwsze co to podstawiam dla n = 1. Ale co dalej? Proszę o jakieś wskazówki chociażby.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2012, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
A, nie doczytałem.

Jeśli w treści było podanych tylko kilka początkowych wyrazów ciągu, to nie da się dowieść odgadniętego wzoru przez indukcję. Chyba, że treść była sformułowana inaczej - na przykład podana była jakaś rekurencja, albo coś podobnego.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2012, o 14:23 
Użytkownik

Posty: 13
Aha no to niezłe ja** :P Treść była dokładnie taka, jak napisałem i na końcu było "w celu zweryfikowania poprawności odgadniętego wzoru sprawdź czy a_{20}= 22029876708984375". Na pewno nie było żadnego równania rekurencyjnego. Podstawiłem, sprawdziłem, wszystko ok. Niestety, nie wystarcza to chyba osobie przed którą mam zdać to zadanie :P i co teraz? :P

Wydaje mi się, że dałoby się to zrobić gdybym miał wzór na a_{n+1}. A może się mylę. Czy da się to jakoś wyliczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2012, o 14:39 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Proponuję wyjaśnić tej osobie, że nie ma tu czego dowodzić indukcyjnie.

Dowód indukcyjny bowiem to pokazanie, że jakaś własność jest prawdziwa dla dowolnego n. W tym wypadku - własność ciągu. Ale w treści zadania ciąg nie jest zdefiniowany dla dowolnych n, więc nie możemy sprawdzić czy odgadnięty wzór działa dla dowolnych n.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2012, o 15:20 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: K-ce
Rozwiązując zadanie metodą jak w wpisie:
http://www.matematyka.pl/122767.htm

Wyjdzie Ci zależność:
a_{n}=a_{n-1}b_{n-1}

Masz:
b_{n}= \frac{5n+15}{n+1}
a_{n}= \frac{5^{n}(n+1)(n+2)}{2}

To od lewej:
a_{n+1}=a_{n}b_{n}=\frac{5^{n}(n+1)(n+2)}{2}\frac{5(n+3)}{n+1}=\frac{5^{n+1}(n+2)(n+3)}{2}
CBDU

Powinno starczyć :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Głupie pytanie o indukcję  Powermac5500  4
 ciągi i indukcja matematyczna  gowsaja  9
 Ciąg określony rekurencyjnie i indukcja matematyczna  pajq  4
 Dowód wzoru Bineta  Comm  2
 Indukcja matematyczna - dowód  Brzezin  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl