szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2012, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Katowice
Witam,
proszę o rozwiązanie tej zagadki lub naprowadzenie na dobry trop :)
Wykaż, że dla dowolnego trójkąta, gdzie x,y,z to długości boków, zachodzi zależność:
\sqrt{3}\frac{(x+y+z)}{2} > \sqrt{(x ^{2} +y ^{2} +z ^{2}  }

Po użyciu nierówności dot. środkowych:
\frac{2}{3} h_{x} + \frac{2}{3}h_{y} > z
wyszło mi:
\frac{4}{3}(h_{x}+h_{y}+h_{z}) > x+y+z
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2012, o 21:22 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Po podniesieniu równoważnie do kwadratu dostajemy:

\frac{3}{4}\left( x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx\right) > x^2 + y^2 + z^2

Po redukcji wyrazów podobnych pozostaje nierówność:

6(xy+yz+zx)>x^2 + y^2 + z^2

Teraz zauważmy, że skoro x, y, z są długościami boków trójkąta, to zachodzi:

x+y>z  \Rightarrow zx+zy>z^2

y+z>x  \Rightarrow xy+xz>x^2

z+x>y  \Rightarrow zy+yx>y^2

Dodając stronami nierówności zx+zy>z^2, xy+xz>x^2, zy+yx>y^2 otrzymujemy:

2(xy+yz+zx) > x^2 + y^2 + z^2

Pozostaje już tylko zauważyć, że:

6(xy+yz+zx) > 2(xy+yz+zx) > x^2 + y^2 + z^2

czyli faktycznie 6(xy+yz+zx) > x^2 + y^2 + z^2, a tego należało dowieść.

PS. Pozdrawiam kolegę (prawdopodobnie) ze szkoły :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2012, o 23:09 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Katowice
Bardzo eleganckie wytłumaczenie, dziękuję. A szkoła to LO Mickiewicza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2012, o 23:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
krzysztof18 napisał(a):
Czyżby Mickiewicz?


Marcin już śpi, więc odpowiem za niego - Tak. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl