szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kielce
Udowodnij że:
\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} +...+ \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{n}{4n+1}   n \in P

Sam lewą stronę próbowałem tak:
\frac{n}{4n+1} + \frac{1}{(4n+1)(4n+5)} = \frac{1}{4n+1}  \left( n+ \frac{1}{4n+5}  \right)
No i nie mam pojęcia co dalej może w ogóle zle rozumiem to.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 13:49 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
OK, teraz w nawiasie sprowadź do wspólnego mianownika i rozłóż otrzymany licznik na czynniki.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 14:27 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kielce
ok moje dalsze obliczenia o ile dobrze mi wyszło:
\frac{1}{4n+1}  \left( n+ \frac{1}{4n+5}  \right) = \frac{1}{4n+1} \left(  \frac{n(4n+5)}{4n+5} +  \frac{1}{4n+5} \right) = \frac{1}{4n+1} \left(  \frac{4 n^{2}+5n+1}{4n+5} \right) = \frac{1}{4n+1} \left(  \frac{(n+1)(n+ \frac{1}{4} )}{4n+5} \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 14:36 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
siwy206 napisał(a):
\ldots = \frac{1}{4n+1} \left(  \frac{(n+1)(n+ \frac{1}{4} )}{4n+5} \right)
Raczej:
\ldots = \frac{1}{4n+1} \left(  \frac{4(n+1)(n+ \frac{1}{4} )}{4n+5} \right)
Teraz skróć co się da.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 15:03 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kielce
Po skróceniu:
\frac{1}{4n+1}\left(  \frac{(n+1)(n+ \frac{1}{4} )}{n+5} \right) =  \frac{1}{4} \left(  \frac{n+ \frac{1}{4} }{n+5} \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 15:06 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Przyjrzyj się jeszcze raz uważnie swojemu rachunkowi.

Jeśli nie zauważysz żadnego błędu, to przed braniem się za indukcję proponuję (bardzo) gruntownie powtórzyć sobie przekształcenia algebraiczne.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 15:14 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kielce
Podejrzewam że nie potrzebnie skróciłem (n+1) powinno zostać tylko w takiej wersji:
\frac{1}{4n+1}\left(  \frac{(n+1)(n+ \frac{1}{4} )}{n+5} \right)
lecz wątpię że jest to rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 15:34 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ok, czyli twierdzisz, że:
\frac{4(n+1)}{4n+5}=\frac{n+1}{n+5}
?
W szczególności więc, dla n=0:
\frac 45 = \frac 15
?

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 15:52 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kielce
Mój bardzo głupi błąd. Teraz już go widzę. Lecz nie mam pojęcia co w takim razie miałbym skrócić w tym:
\frac{1}{4n+1} \left(  \frac{4(n+1)(n+ \frac{1}{4} )}{4n+5} \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 15:57 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
\frac{1}{4n+1} \left( \frac{4(n+1)(n+ \frac{1}{4} )}{4n+5} \right)=\frac{1}{4n+1} \left( \frac{(n+1)(4n+ 1 )}{4n+5} \right)

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 16:05 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kielce
I po skróceniu zostaje:
\frac{n+1}{4n+5}
i wtedy lewa strona się równa prawej. Dzięki bardzo za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnić indukcyjnie - zadanie 3  monika0823  9
 Udowodnić indukcyjnie - zadanie 8  cristof87  2
 Udowodnic indukcyjnie - zadanie 9  Dexous  2
 Udowodnić indukcyjnie - zadanie 6  myszka666  2
 Udowodnic indukcyjnie - zadanie 2  beatka-k16  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl