szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 21:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Kraków
Mam taką nierówność do udowodnienia:
\frac{e^{x} +e^{-x}}{2} \ge 1 + \frac{x^2}{2}
Wiem, że wyrażenie po lewej stronie to cosh, ale niewiele mi to daje.. jak to ruszyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2012, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Niech f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2-1-\frac{x^2}2. Zbadaj monotoniczność tej funkcji.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 13:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Kraków
Obliczyłam pochodną i otrzymałam f^{\prime} (x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} -x, i nie wiem niestety jak określić kiedy ona jest dodatnia, kiedy nie...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 13:18 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zauważ, że f''(x)\ge 0 i wywnioskuj stąd, że f'(x) jest rosnąca i ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Pozostaje odgadnąć to miejsce zerowe i wywnioskować, że w tym miejscu f(x) ma minimum globalne.

Q.
Góra
PostNapisane: 27 sty 2012, o 13:23 
Użytkownik
e^{x} +e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n }{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n }{n!}= 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}  \ge 2+x^2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 19:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Kraków
Qń napisał(a):
Pozostaje odgadnąć to miejsce zerowe i wywnioskować, że w tym miejscu f(x) ma minimum globalne.


Ok, miejsce zerowe to x=0, ale skąd wiadomo, że to jest minimum globalne f(x) ?

brzoskwinka, dziękuję :) a więc mam już dwa rozwiązania ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Skoro f' jest rosnąca i zeruje się w zerze, to znaczy że wcześniej była ujemna, a później dodatnia. Tak więc w (-\infty , 0) funkcja f jest malejąca, a w (0,+\infty ) rosnąca. Siłą rzeczy więc minimum globalne jest w zerze.

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 20:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 401
Lokalizacja: Kraków
dziękuję :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnic nierównoSC - zadanie 2  marcin111  5
 Udowodnić nierówność - zadanie 32  corax  6
 Udowodnić nierówność - zadanie 61  matfka  4
 Udowodnic nierównosc  pio  1
 Udowodnić nierówność - zadanie 2  mikolajm  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl