szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 18:00 
Moderator

Posty: 3012
Lokalizacja: Starachowice
Chciałbym się zapytać, czy istnieje jakaś ogólna metoda rozkładu funkcji w której są punkty nieciągłości (np. takiej, jak na rysunku) i jeżeli jest, to czy ktoś mógłby mi ją wytłumaczyć?

Obrazek

Chodzi mi o rozkład funkcji na dwie funkcje: jedną parzystą, a drugą nieparzystą.
Wiem, że jak funkcja jest ciągła, to można ten rozkład jakoś rozpisać z definicji funkcji parzystej i nieparzystej, natomiast w takiej sytuacji, jaką narysowałem - nie mam pojęcia, jak dokonać rozkładu. Proszę o wskazówki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 18:04 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
281807.htm

A co to ma wspólnego z ciągłością? Jedyny problem to symetria dziedziny.

Swoją drogą Twój rysunek jest dość dziwny - co na nim ma oznaczać funkcję?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 18:24 
Moderator

Posty: 3012
Lokalizacja: Starachowice
Funkcję oznacza ta górna linia - funkcja jest rosnąca dla x \in \left\langle - \frac{2}{3} ;  \frac{1}{3}  \right\rangle i malejąca dla x \in \left\langle  \frac{1}{3} ;  \frac{2}{3}  \right\rangle.

No tak, to z ciągłością nie ma wiele wspólnego, ale w przywołanym temacie 281807.htm, to mamy tylko jeden wzór f(x)=... . A w moim przypadku są dwa wzory: f(x) dla funkcji rosnącej, i g(x) dla f. malejącej...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 18:44 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
W tym przypadku też jest tylko jeden wzór, tyle, że zadany dwoma warunkami.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 19:07 
Moderator

Posty: 3012
Lokalizacja: Starachowice
Aha, czyli coś takiego mam:

f(x)=  \begin{cases} x+ \frac{2}{3} ; x \in \left\langle - \frac{2}{3} ;  \frac{1}{3}  \right\rangle   \\ - \frac{3}{2} x +  \frac{3}{2} ; x \in \left(  \frac{1}{3} ;  \frac{2}{3}   \right\rangle   \end{cases}

I teraz wstawiam w ten wzór g(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2} , h(x)= \frac{f(x)-f(-x)}{2}, tak?

edit. już widzę jak beznadziejnie narysowałem ten wykres...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 19:31 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
O to chodzi, choć akurat wzór jest błędny, przecież f(0)=\frac34, a nie \frac23.

Tam są trzy kawałki liniowe, a nie dwa.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2012, o 21:13 
Moderator

Posty: 3012
Lokalizacja: Starachowice
Bardzo dziękuję za dotychczasowe wskazówki.

A teraz kolejny przykład:

Obrazek

Przystępuję do wyznaczenia funkcji liniowych dla poszczególnych przedziałów:

Wychodzi mi

f(x)= \begin{cases}  \frac{1}{4} x+ 1 ; x \in \left\langle - 2 ; 1 \right\rangle \\ -  x + \frac{9}{4} ; x \in \left( 1 ; 2 \right\rangle \end{cases}

zajmuję się najpierw przedziałem x \in \left\langle - 2 ; 1 \right\rangle :

g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} =  \frac{ \frac{1}{4} x + 1 + 1 -  \frac{1}{4} x }{2} = 1 \\ h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} =  \frac{ \frac{1}{4} x + 1 - \left( -  \frac{1}{4} x + 1 \right)  }{2} =  \frac{1}{4} x

Teraz przedział x \in \left(   1 ; 2 \right\rangle :

g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} =  \frac{ - x +  \frac{9}{4}  + x +  \frac{9}{4}  }{2} =  \frac{ \frac{18}{4} }{2} =  \frac{9}{4}  \\ h(x) =  \frac{f(x) - f(-x)}{2} =  \frac{ - x + \frac{9}{4} - \left( x +  \frac{9}{4}  \right)  }{2} =   \frac{-2x}{2} = -x

No i jak narysuję wykresy tych funkcji dla poszczególnych przedziałów w układzie współrzędnych, to nie wyjdzie suma funkcji parzystej i nieparzystej dla przedziału \left\langle -2;2 \right\rangle - na przykład funkcja g(x) w punkcie x=1 będzie miała punkt nieciągłości (skok na wykresie), i nie będzie spełniony warunek g(x) = g(-x) ... to samo dla h(x) .
Oczekuję tego, by g(x) była parzysta dla przedziału \left\langle -2;2 \right\rangle , a h(x) była nieparzysta dla przedziału \left\langle -2;2 \right\rangle .
Jest jakiś sposób, by wyznaczyć takie funkcje? A może mój błąd wynika z tego, że gdzieś pomyliłem się w powyższych przekształceniach? Czekam na podpowiedzi i ewentualne uwagi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2012, o 00:58 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Twój błąd polega na złej interpretacji f(-x). Wyznacz najpierw wzór funkcji f_1(x)=f(-x), ale zrób to uważnie i pamiętaj o przedziałach.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2012, o 14:30 
Moderator

Posty: 3012
Lokalizacja: Starachowice
Chyba rozumiem swój błąd i zaczaiłem o co chodzi:

Tworząc f(-x) , nie wykorzystałem symetrii względem osi OY, zmieniłem tylko wzór a przedziały przepisałem...

f(-x) =  \begin{cases} -  \frac{1}{4} x + 1 ; x \in \left\langle -1;2 \right\rangle   \\ x+ \frac{9}{4} ; x \in \left\langle -2;-1 \right)    \end{cases}

Tworzę trzy przedziały:
I. x \in \left\langle -2;-1 \right) \\ II. x \in \left\langle -1;1 \right)  \\ III. x \in \left\langle 1;2 \right)

i dla każdego z nich ustalam g(x) i h(x):

I. x \in \left\langle -2;-1 \right) \\ g(x) =  \frac{f(x)+f(-x)}{2} =   \frac{\frac{1}{4} x + 1 + x +  \frac{9}{4}}{2} =  \frac{5}{8} x +  \frac{13}{8} \\ h(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} =  \frac{ \frac{1}{4} x + 1 - x -  \frac{9}{4}  }{2} = - \frac{3}{8} x -  \frac{5}{8}   \\ II. x \in \left\langle -1;1 \right) \\ g(x) =   \frac{\frac{1}{4} x + 1 -  \frac{1}{4} x + 1}{2} = 1 \\ h(x) =  \frac{ \frac{1}{4} x + 1 - \left( - \frac{1}{4} x   + 1 \right) }{2} =  \frac{1}{4} x \\ III. x \in \left\langle 1;2 \right) \\ g(x) =  \frac{-x +  \frac{9}{4} +  1 -  \frac{1}{4} x   }{2}  = - \frac{5}{8} x +  \frac{13}{8} \\ h(x) =  \frac{-x +  \frac{9}{4} +  \frac{1}{4} x - 1  }{2} = - \frac{3}{8} x +  \frac{5}{8}

Sprawdziłem, że suma funkcji g(x) i h(x) daje f(x) dla każdego punktu dziedziny, narysowałem wykresy g(x), h(x) , no i rzeczywiście działa ta metoda. Dzięki za wskazówki ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl