szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2007, o 19:12 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
Iloczyn kartezjański

Iloczynem lub produktem kartezjańskim zbiorów A, B (niepustych) nazywamy zbiór uporządkowanych par (a,b), a\in A, b\in B:

A\times B=\{(a,b):\,a\in A\wedge b\in B\}.


Np. A=\langle a,b\rangle, B=\langle c,d\rangle, wtedy

A\times B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:a\leqslant x\leqslant b \wedge c\leqslant y\leqslant d\}.


Relacja

Relacją R między elementami zbiorów A oraz B nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego A\times B. Mówimy, że x\in A i y\in B pozostają względem siebie w relacji R, co zapisujemy xRy, jeżeli para (x,y) należy do podzbioru \mathbb{R}.

R=\{(x,y)\in A\times B: xRy\}


Np. Relacja xRy\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leqslant 1 to zbiór \mathbb{R}^{2} ograniczony elipsą wraz z tą elipsą. Relacja xRy\Leftrightarrow |x| to podzbiór \mathbb{R}^{2}.

Funkcja

Relację f między zbiorami X oraz Y nazywamy funkcją określoną na X oraz o wartościach z Y, jeżeli

\left(\bigwedge_{x\in X}\bigvee_{y\in Y}xfy\right)\wedge\left(\bigwedge_{x\in X}\bigwedge_{y,z\in Y}(xfy\wedge xfz)\Rightarrow y=z\right).


Funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y, co zapisujemy f:X\mapsto Y lub y=f(x) dla x\in X. Wtedy X to dziedzina f. Przeciwdziedziną funkcji f nazywamy zbiór: Y_{0}=\{y\in Y: y=f(x)\}. Jeżeli Y_{0}=Y, to mówimy, że f jest suriekcją X na Y. Relację f nazywamy funkcją
X w zbiór Y wzajemnie jednoznaczną lub iniekcją, jeżeli

\left(\bigwedge_{x\in X}\bigvee_{y\in Y}xfy\right)\wedge\left(\bigwedge_{x\in X}\bigwedge_{y,z\in Y}(xfy\wedge xfz)\Rightarrow y=z\right)\wedge\left(\bigwedge_{x,z\in X}\bigwedge_{y\in Y}(xfy\wedge zfy)\Rightarrow x=z\right).


Np.
  1. Funkcje y=\sin{x}, y=\cos{x} dla (-\infty,\infty) nie są wzajemnie jednoznaczne.
  2. Funkcje y=\sin{x} dla x\in\langle-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\rangle, y=\cos{x} dla x\in\langle 0,\pi\rangle są wzajemnie jednoznaczne.
  3. Dana jest funkcja:
    y=\begin{cases}x & \mbox{dla calkowitych} \\ x+1 & \mbox{nie dla calkowitych}\end{cases}
    Funkcja f odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór \mathbb{R} na zbiór \mathbb{R}, chociaż nie jest monotoniczna.
Każda funkcja rzeczywista i o wartościach rzeczywistych, ściśle monotoniczna: rosnąca lub malejąca, jest wzajemnie jednoznaczna.

Mówimy, że f odwzorowuje X na zbiór Y, jeżeli:

\bigwedge_{y\in Y}\bigvee_{x\in X}xfy .


Jeżeli nie zakłada się, że ten warunek jest spełniony, to mówimy, że f odwzorowuje X w Y.

Jeżeli funkcja f odwzorowuje X wzajemnie jednoznacznie na Y, to f nazywamy bijekcją.

Funkcja f odwzorowująca wzajemnie jednoznacznie X na Y wyznacza również x jako funkcję y. Otrzymaną w ten sposób funkcję oznaczamy i nazywamy funkcją odwrotną:

yf_{-1}x\Leftrightarrow xfy.


Niech g będzie funkcją odwzorowującą X na Y, a f: Y w Z. Wtedy złożenie, lub superpozycję funkcji f oraz g oznaczamy: (f\circ g)(x)=f(g(x)). Funkcja f odwzorowuje X w Z.

f\circ g=\{(x,z)\in X\times Z:\bigvee_{y\in Y}(y=g(x)\wedge z=f(y))\}.


Własności funkcji złożonej:
  1. f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h - łączność
  2. f\circ g\neq g\circ f - nieprzemienność
  3. Jeżeli f odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie X na Y, a f_{-1} jest funkcją odwrotną do f, to:

    \bigwedge_{x\in X}\bigwedge_{y\in Y}\left((f_{-1}\circ f)(x)=x,\,(f\circ f_{-1})(x)=x\right).
W superpozycji funkcji f i g (f\circ g=f(g)), funkcję f nazywamy funkcję zewnętrzną, a funkcję g funkcją wewnętrzną.
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja kwadratowa  Tomasz Rużycki  0
 Funkcja okresowa - zadanie 3  bolo  0
 Definicja i własności funkcji wykładniczej  Anonymous  1
 funkcja dówch zmiennych - pochodnymi przyrównanymi do ze  Anonymous  5
 Funkcja kwadratowa z parametrem.  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl