szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2007, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 5553
Lokalizacja: Kraków
(1+\frac{1}{n^2})^n< 2
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2007, o 17:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
Musi być indukcyjnie?

\left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n} = 1 + \frac{1}{n} +  \frac{1}{n^{4}}\cdot \frac{n \cdot (n - 1)}{1\cdot 2} + \ldots + \frac{1}{n^{2k}}\cdot \frac{n\cdot\ldots\cdot(n - k)}{(k + 1)!} + \ldots + \frac{1}{n^{2n}} \cdot \frac{n!}{n!} <  1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{1}{2!} + \ldots + \frac{1}{n^{k}} \cdot  \frac{1}{(k+1)!} + \ldots + \frac{1}{n^{n}} \cdot \frac{1}{n!} < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{3} \cdot  \frac{1}{(k+1)!} + \ldots + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n!} < \frac{3}{2} + \frac{1}{3}\left(e - \frac{3}{2}\right) < 2

Alternatywnie - korzystając z nierówności między średnią harmoniczną i geometryczną wykazujemy, że ciąg po lewej stronie jest malejący i pokazujemy, że jego drugi wyraz spełnia nierówność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2007, o 00:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Mój dowód również nie będzie stricte indukcyjny. Jednak będę korzystał z nierówności Bernoulliego (którą właśnie dowodzi się indukcyjnie):
Dla dowolnie ustalonej liczby rzeczywistej x>-1 i dowolnego n \in \mathbb{N} spełniona jest nierówność (1+x)^n \geq 1+nx.

Wpierw przekształcimy (1+ \frac{1}{n^2})^n do takiej postaci, by móc skorzystać z nierówności Bernoulliego:
(1+ \frac{1}{n^2})^n= (\frac{ n^2 +1}{n^2 })^n= \frac{1}{  (\frac{n^2 }{n^2 +1})^n}=\frac{1}{ (1- \frac{1}{n^2+1})^n  }
Patrząc na nierównośc Bernoulliego przyjmujemy x=- \frac{1}{n^2 +1}. Nasz x spełnia założenia ponieważ:
0
Korzystając więc z nierówności Bernoulliego mamy:
(1 - \frac{1}{n^2 +1})^n \geq 1+n \cdot(- \frac{1}{n^2 +1})=1 - \frac{n}{n^2 +1}
Mamy z tego, że:
\frac{1}{ ( 1- \frac{1}{n^2 +1})^n} \leq \frac{1}{1 - \frac{n}{n^2+1}}=\frac{1}{ \frac{n^2+1-n}{n^2+1}}=\frac{n^2 +1}{n^2 +1 - n}= 1+ \frac{n}{n^2 - n+1}
Do wykazania jest więc nierówność 1+ \frac{n}{n^2 -n+1} . Sprawdzamy więc, że jest ona prawdziwa:
1+ \frac{n}{n^2 - n +1}
Ponieważ dla każdego n>1 ostatnia nierówność jest prawdziwa, a wcześniejsze przekształcenia były równoważne, więc nierówność 1+ \frac{n}{ n^2 - n+1} została pokaza. A ponieważ (1 + \frac{1}{n^2})^n \leq 1+ \frac{1}{n^2 - n+1}, więc wykazaliśmy, że ( 1+ \frac{1}{n^2})^n .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2007, o 14:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
Również niezbyt indukcyjnie, ale...

\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}

Lewą stronę można szacować poprzez e:

e1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2007, o 15:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
uhm, ja jeszcze dla uściślenia podam, że w nierówności bola lewa strona jest ograniczona z góry przez e, dlatego ten sposób działa
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2007, o 15:16 
Użytkownik

Posty: 5553
Lokalizacja: Kraków
i bdb! aaaaa czy nasz ciag (1+\frac{1}{n^2})^n jest ...malejący.? :razz: :twisted: :evil: :arrow: :idea:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2007, o 15:34 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
Tak, malejący i ograniczony od dołu przez 1:
Z nierówności między średnią harmoniczną i geometryczną mamy:
\frac{n + 1}{1 + \frac{n}{1 + \frac{1}{n^{2}}}} < \sqrt[n + 1]{1\cdot\left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}}\\
L = \frac{n + 1}{1 + \frac{n}{1 + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{n + 1}{1 + \frac{n}{\frac{n^{2} + 1}{n^{2}}}} = \frac{n + 1}{1 + \frac{n^{3}}{n^{2} + 1}}=\\ 
= \frac{(n + 1)(n^{2} + 1)}{1 + n^{2} + n^{3}} = \frac{n^{3} + n^{2} + n + 1}{n^{3} + n^{2} + 1} =\\
= 1 + \frac{1}{n^{2} + n + \frac{1}{n}} > 1 + \frac{1}{n^{2} + 2n + 1} = 1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}
Zatem w wypisanej powyżej nierówności lewą stronę możemy zastąpić przez:
1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}
Otrzymując:
1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}} < \sqrt[n + 1]{\left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}}\\
\left(1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}\right)^{n + 1} < \left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}
ckd odnośnie monotoniczności (a odnośnie ograniczenia, to widać, że zawsze podnosimy do dodatniej potęgi liczbę większą od 1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2007, o 19:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
Trochę te szacowanie mi nie pasuje, bo szacujesz lewą stronę czymś mniejszym, a nie większym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2007, o 20:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
bolo napisał(a):
Trochę te szacowanie mi nie pasuje, bo szacujesz lewą stronę czymś mniejszym, a nie większym.

hmm... :roll:
otrzymaliśmy dokładnie co następuje:
1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}< \frac{n + 1}{1 + \frac{n}{1 + \frac{1}{n^{2}}}} < \sqrt[n + 1]{\left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}}
powołując się przy tym na przechodniość relacji mniejszości mamy:
1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}

raczej gdybyśmy zastąpili lewą stronę nierówności:
\frac{n + 1}{1 + \frac{n}{1 + \frac{1}{n^{2}}}} < \sqrt[n + 1]{\left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}}
czymś większym to byłby problem...
(co innego gdybyśmy się nie powoływali na prawdziwość powyższej nierówności, tylko jej dowodzili...)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2007, o 20:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
OK, pasuje mi już :wink:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna - zadanie 23  kalik  1
 Indukcja z silnią i pierwiastkiem  ziomalitto  5
 Indukcja matematyczna - przykład z potęgami - zadanie 2  TheCitizen  4
 płaszczyzna-indukcja  tomo88  2
 Indukcja matematyczna - 2 zadania.  graz30  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl