szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2012, o 19:52 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Toruń
Powtarzam materiał z indukcji matematycznej i trafiłem na dwa zadania - pierwsze mam chyba dobrze rozwiązane, ale do drugiego nie wiem jak się zabrać.

Zadanie 1
1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}

Sprawdzam dla n=1 i jest ok. Teraz sprawdzenie dla n+1:

1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}

\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}

\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}

\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}

\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}

A to zadanie 2:

1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2

Sprawdzanie dla n=1 wychodzi, ale to nie jest żaden problem natomiast dla n+1.

1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+...+n+n+1)^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2012, o 19:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Porównaj prawe strony. Przecież pierwsze zadanie mówi, że suma trzecich potęg jest kwadratem sumy pierwszych potęg. A zatem drugie możesz pokazać przez pierwsze. Prościutko.

A więc moja propozycja jest taka: zauważamy, że

1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}

i dowodzimy wzoru z zadania 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2012, o 19:58 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Toruń
Czyli mogę zamiast 1^3+2^3+...+n^3 podstawić \frac{n^2(n+1)^2}{4}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2012, o 19:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Na przykład. Ale ja bym szedł od drugiej strony, jak napisałem w uzupełnieniu mojego posta. Ale to kwestia gustu. Jednak mając tylko trzeci wzór zabierałbym się za to właśnie jak napisałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2012, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Toruń
A można to dowieść nie używając tych wzorów na sumę potęg? Pytam, ponieważ zastanawiam się czy jak dostanę takie zadanie na egzaminie to mogę tak po prostu podstawić sobie te wzory na sumy potęg.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2012, o 20:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Pogubiłem się. Czego? Zadania 1 czy 2?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 lut 2012, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: StW/Kr
Chyba chodzi o to, że do rozwiązanie zadania 2 używasz zadania 1. I czy tak można na egzaminach. Ale jaki to problem udowodnić wzór z zadania 1 tak dla pewności?
Można też wykazać, że jeśli od lewej strony tezy indukcyjnej odejmiesz lewą stronę indukcyjnego założenia wyjdzie ci (k+1) ^{3} i że to samo wychodzi z prawej strony.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Dowodzenie podzielności - indukcja  pandaboy  19
 (4 zadania) Indukcja  basia  8
 3 zadanka z indukcji  fishman4  3
 dwumian Newtona na podstawie indukcji mat.  Qasi  3
 Indukcja matematyczna - 2 zadania.  graz30  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl