szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 01:05 
Użytkownik

Posty: 91
f:\mathbb{R}  \rightarrow \mathbb{R}^{2} zdefiniowana wzorem f(x) = (2x, x+7)

a) czy f jest surjekcją? injekcją?

b) znajdź f\left[ \left[ 0, 1\right] \right]
f^{-1}\left[ \left[ 0, 1\right]  \times \left[ 0, 1\right]  \right]


ad. a)

funkcja nie jest surjekcją, ponieważ nie osiąga wartości \left( 0, 0\right) musiałoby 2x = 0  \Leftrightarrow x = 0  \rightarrow \left( 0, 7\right)  \neq \left( 0, 0\right)

\forall x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} \left( f(x_{1})  \neq f(x_{2})\right)

wiec

\left( 2x_{1}, x_{1}+7)\right) = \left( 2x_{2}, x_{2}+7\right)  \Leftrightarrow x_{1} = x_{2}

zatem jest injekcją

ad b)

f\left[ \left[ 0, 1\right] \right] = \left\{ f(x) : x \in \left[ 0, 1\right] \right\}

więc

f\left[ \left[ 0, 1\right] \right] = \left\langle \left[ 0, 2\right]  \times \left[ 7, 8\right]  \right\rangle


f^{-1}\left[ \left[ 0, 1\right]  \times \left[ 0, 1\right]  \right] = \left\{ x \in \mathbb{R} : f(x) \in   \left[ 0, 1\right]  \times \left[ 0, 1\right] \right\}

więc

\left\langle 2x, x+7\right\rangle \in \left[ 0, 1\right]  \times \left[ 0, 1\right]

zatem

2x \in \left[ 0, 1\right]  \wedge x+7 \in \left[ 0, 1\right]

po rozpisaniu tego na uklad 4 nierownosci otrzymujemy sprzecznosc, zatem przeciwobraz tego zbioru wzgledem funkcji f nie istnieje.



prosze o sprawdzenie mojego toku rozumowania :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 01:09 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Surjekcja, injekcja - OK
Obraz, przeciwobraz - do niczego.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 01:16 
Użytkownik

Posty: 91
Co to znaczy, że do niczego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 01:19 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Przy obrazie zupełnie mylisz byty (i zapis).

Przeciwobraz liczysz dobrze, ale wyciągasz złe wnioski. Przeciwobraz zawsze istnieje.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 01:24 
Użytkownik

Posty: 91
Zatem jak powinien wyglądać obraz ?
Co do przeciwobrazu, lepiej będzie jak napiszę, że to zbiór pusty?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 02:08 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
jarmiar napisał(a):
Zatem jak powinien wyglądać obraz ?

Zastanawiasz się, jakie pary możesz otrzymać, gdy x\in[0,1]. To nie będzie produkt odcinków, bo te współrzędne nie są niezależne (jak chciałbyś otrzymać parę \left\langle 0,8\right\rangle\ ?). A co do bytów, to chodziło mi o to, że taki zapis
jarmiar napisał(a):
\left\langle \left[ 0, 2\right]  \times \left[ 7, 8\right]  \right\rangle

nie ma sensu. Co najwyżej mógłbyś napisać \left[ 0, 2\right]  \times \left[ 7, 8\right] tyle, że to nie jest dobra odpowiedź.

jarmiar napisał(a):
Co do przeciwobrazu, lepiej będzie jak napiszę, że to zbiór pusty?

Nie lepiej, tylko to jedyna poprawna odpowiedź.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 02:31 
Użytkownik

Posty: 91
Czyli formalnie obraz zapiszemy w postaci definicji, jedynie podajac wzor funkcji zamiast ogolnika
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 10:58 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Można lepiej.

A gdybyś miał polecenie narysowania tego zbioru?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 91
Narysowalbym wykresy dwóch prostych:

y=2x

oraz

y=x+7

obrazem bylyby wszystkie pary znajdujace sie na sumie tych prostych w przedziale \left[ 0, 1\right]

Mam jeszcze taki przyklad:

f(x)=\left( \lfloor x \rfloor, x+\lfloor x \rfloor \right)

i tutaj obrazem:

f\left[ \mathbb{N} \right]

będzie

\mathbb{N} \times \mathbb{R} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 19:52 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
jarmiar napisał(a):
Narysowalbym wykresy dwóch prostych:

y=2x

oraz

y=x+7

obrazem bylyby wszystkie pary znajdujace sie na sumie tych prostych w przedziale \left[ 0, 1\right]

Do niczego.

jarmiar napisał(a):
Mam jeszcze taki przyklad:

f(x)=\left( \lfloor x \rfloor, x+\lfloor x \rfloor \right)

i tutaj obrazem:

f\left[ \mathbb{N} \right]

będzie

\mathbb{N} \times \mathbb{R} ?

No skąd. Jak chcesz otrzymać parę (1,1)\ ?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 91
Nie wiem jak to zapisac.

Wiem tyle, ze poprzednikiem pary bedzie zbior \mathbb{N}

Mozesz mi napisac?

W sumie to wymyslilem cos takiego:

\left\{ \left\langle a, b\right \rangle  \subseteq  \mathbb{R}^{2} : a \in \mathbb{N}  \wedge  b = x + \lfloor x \rfloor : x \in \mathbb{N} \right\}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 21:29 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
jarmiar napisał(a):
W sumie to wymyslilem cos takiego:

\left\{ \left\langle a, b\right \rangle  \subseteq  \mathbb{R}^{2} : a \in \mathbb{N}  \wedge  b = x + \lfloor x \rfloor : x \in \mathbb{N} \right\}

Zapis niepoprawny, myśl znośna, choć to dalej nie jest rozwiązanie.

Czemu jest równe \lfloor x \rfloor, gdy x \in \mathbb{N}\ ?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 22:02 
Użytkownik

Posty: 91
jest rowne x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 22:10 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Skorzystaj z tego.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2012, o 22:29 
Użytkownik

Posty: 91
czy teraz jest dobrze?:

f\left[ \mathbb{N}\right] = \left( x, 2x  \right) = \left\{ \left\langle x, y\right\rangle  \subseteq \mathbb{N}^{2} : x \in \mathbb{N}  \wedge y \in \mathbb{N} \wedge 2|y \right\}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Surjekcja, różnowartościowość, funkcja odwrotna  porucznik  3
 obraz i przeciwobraz - zadanie 3  zedd5  4
 Surjekcja, Injekcja  Robson1416  15
 Złożenie funkcji i przeciwobraz.  majkinek  1
 Przeciwobraz funkcji - zadanie 9  Drzewo18  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl