szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2012, o 10:28 
Użytkownik

Posty: 696
wykazac, ze funkcja f:(0,1)\rightarrow (a,b) zdefiniowana

f(x)=a(1-x)+bx jest injekcja i surjekcja. a,b\in \mathbb{R}

czy mozna to zrobic tak:
zakladam np a=1, b=2 i mam
f(x)=(1-x)+2x=1+x
f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 1+x_{1}=1+x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2} czyli injekcja

teraz surjekcja
f(x)=y znajduje y=1+x\Rightarrow x=1+y\Rightarrow y=x-1\Rightarrow x=y+1
f(y+1)=1+(y-1)=y czyli surjekcja

czy to jest dobrze?

a jak np sprawdzic ciaglosc tej funkcji (ewentualnie rozniczkowalnosc)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2012, o 11:45 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Zrób to samo tylko dla dowolnych a i b. Nie możesz podstawić pod to czegokolwiek, bo to tylko jeden przypadek. A przypadków masz continuum.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2012, o 11:54 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
Nie możesz tak sobie założyć coś o a\ {\rm i}\ b. Trzeba to zrobić bez żadnych dodatkowych założeń.
Ustalamy dowolne x_1,x_2\in(a,b) takie, że f(x_1)=f(x_2), czyli
a(1-x_1)+bx_1=a(1-x_2)+bx_2
a-ax_1+bx_1=a-ax_2+bx_2
(b-a)x_1=(b-a)x_2
Z określenia funkcji (przeciwdziedziną jest przedział (a,b)) wynika, że a\neq b i możemy obie strony powyższej równości podzielić przez b-a co da nam
x_1=x_2
czyli funkcja jest iniekcją.
Teraz weźmy dowolny y\in(a,b). Szukamy x\in(0,1) takiego, że f(x)=y.
a(1-x)+bx=y
a-ax+bx=y
(b-a)x=y-b
x=\frac{y-a}{b-a}
Taki x zatem istnieje, należy jeszcze wykazać, że jest z przedziału (0,1).
To jest akurat dosyć łatwe, od razu widać, że \frac{y-a}{b-a}>0 bo y>a\wedge b>a. Podobnie z nierównością
\frac{y-a}{b-a}<1
y-a<b-a
y<b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2012, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 696
dzieki bardzo :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kiedy potrzebne jest wyznaczanie dziedziny ?  mateo19851  4
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl