szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2007, o 15:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
Niech każdej liczbie naturalnej n przyporządkowane jest zdanie p(n).

Jeżeli:
  1. p(1) jest prawdziwe,
  2. jeżeli p(n) jest prawdziwe, to jest prawdziwe p(n+1),
to zdanie p(n) jest prawdziwe dla każdego n=1,2,3,...

Dowód: Skorzystamy z następujących własności liczb naturalnych. W każdym niepustym podzbiorze zbioru liczb naturalnych istnieje najmniejsza liczba naturalna. Przypuśćmy, że są spełnione założenia a), b), oraz że istnieje liczba naturalna n, dla której zdanie p(n) jest fałszywe. Oznaczmy przez A zbiór tych n\in\mathbb{N}, dla których p(n) jest zdaniem fałszywym. Z zaprzeczenia tezy wynika, że A\neq\O, a więc A zawiera liczbę najmniejszą. Oznaczmy ją przez n_{0}. Z założenia a) wynika, że p(1) jest zdaniem prawdziwym, czyli 1\notin A, a więc n_{0}\neq 1. Stąd n_{0}-1 jest liczbą naturalną. Ponieważ n_{0} jest najmniejszą liczbą naturalną w zbiorze A, a więc n_{0}-1\notin A, czyli zdanie p(n_{0}-1) jest prawdziwe. Z założenia b) wynika, że zdanie p(n_{0}) jest prawdziwe. Jest to sprzeczne z definicją liczby n_{0}\in A. Ponieważ przypuszczenie, że istnieje liczby naturalne n, takie że zdanie p(n) jest fałszywe doprowadziło do sprzeczności, więc zdanie p(n) jest prawdziwe dla każdego n=1,2,3,....

Wniosek:
Jeżeli:
  1. zdanie p(n) jest prawdziwe dla liczby naturalnej n_{0},
  2. z prawdziwości p(n) dla liczby naturalnej k wynika prawdziwość p(n) dla liczby k+1, gdzie k\geqslant n_{0},
to zdanie p(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n\geqslant n_{0}.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 trudne zadanie z indukcji  zaudi  10
 I zasada termodynamiki - zadanie 2  kamil15  0
 zasada podziałowa?  movax1  4
 Zasada Dirichleta - dowód.  psimon  3
 zasada zachowania pędu - obliczyć prędkości łódek  zdolowany123  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl