szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2012, o 21:47 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Szczecin
Witam!

Dane jest takie oto równanie
2^m-3^n=1
Należy znaleźć wszystkie rozwiązania n, m w liczbach naturalnych


Zdaje sobie sprawę, że jedyne możliwe pary w takiej konfiguracji (n,m), to (1,2), (0,1), ale oczywiście należałoby to jakoś udowodnić, z tymże dopiero zaczynam robić te zadania i chciałbym się jednocześnie dopytać o podzielność.
Mam dajmy na to 1:2 zapisywać to w postaci 0 \cdot 2+1, czyli 1 reszty?
A dajmy na to -1:2=-1(-2)+1=-1?
Może to kwestia przyzwyczajenia, ale czy ktoś z Was zna jakiś przystępny przykład, żeby to sobie sensownie tłumaczyć? Do tej pory nie myślałem o tym w ten sposób i jakoś trudno mi sobie wyobrazić dzielenie ujemnej liczby przez większą od niej i jeszcze uzyskanie reszty :).

Wracając jednak do przykładu.
Dostałem dwie pary, więc chciałbym sprawdzić sytuację przykładowo dla m=3

Zatem:
8-3^n=1
3^n=7
Widzę, że -1 i 7 dają tę samą resztę z dzielenia przez 8, a 3^2 \equiv 1\pmod{8}, ale co dalej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2012, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 55
Zauważ, że dla n>0: \; 2^m-3^n\equiv 1 \pmod{3} \Leftrightarrow m\equiv 0 \pmod{2}, więc m=2k, dla k\in \mathbb{N}.

Otrzymujesz równanie 4^k-3^n=1, ale dla n>1: \; 4^k-3^n\equiv 4 \pmod{9}  \vee 4^k-3^n\equiv 7 \pmod{9}.

Zostają do rozpatrzenia 2 przypadki: n=0, n=1.

+ http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Mihailescu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2012, o 22:41 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Szczecin
Dziękuję za odpowiedź, ale miałbym jeszcze kilka pytań.

Skąd to pierwsze założenie i równoważność, że m musi być parzyste? Nie trzeba pokazać jakoś, że jest to nieprawda dla nieparzystego?

Szczerze mówiąc dalsze rozumowanie też nie jest dla mnie do końca jasne.
Próbowałem to kończyć nieco inaczej, to znaczy:
4^k-1=3^n
(2^k-1)(2^k+1)=3^n
No to dla k=1, n=1 zachodzi nam równość, ale jak udowodnić sprzeczność dla n>1?

Jeszcze pytanie co do tego twierdzenia.
Czy na jego podstawie tak na prawdę nie mamy wyeliminowanych wszystkich par postaci (m,n) typu (2,2) i większych, przy czym oba składniki >1.
Innymi słowy pozostają tylko takie pary liczb, w których jedna z nich jest równa zero lub równa 1, w myśl założenia z tego twierdzenia, które jest prawdziwe dla n>1.
Czyli tak na prawdę jest jedna para (m,n) - (2,1) i jeżeli bierzemy 0, to druga (1,0)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl