szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2012, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Podkarpacie
Witam, mam problem z pewnym zadaniem a mianowicie:

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \frac{x}{1+ x^{2} }

Byłbym wdzięczny za wszelką pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2012, o 14:01 
Moderator

Posty: 2748
Lokalizacja: Seattle, WA
No to policz pochodną i poszukaj ekstremów.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2012, o 14:04 
Użytkownik

Posty: 399
Lokalizacja: Kutno
nie ma takich - chyba, że w określonym przedziale
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2012, o 14:05 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Podkarpacie
W liceum jeszcze nie było pochodnych ; )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2012, o 14:15 
Użytkownik

Posty: 716
Pokaż, że funkcja jest nieparzysta, a następnie dla x \ge 0 (podstawiasz x=a^2) zachodzi nierówność \frac{a^2}{1+a^4}  \le  \frac{1}{2} i pokaż, że dla pewnego x zajdzie równość - tak wyznaczysz maksimum funkcji i jednocześnie masz minimum, jak nie chcesz korzystać z pochodnej.

EDIT: poprawa znaku nierówności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2012, o 14:26 
Moderator

Posty: 2748
Lokalizacja: Seattle, WA
A skąd to zadanie w takim razie?
No to najpierw zauważmy, że funkcja jest nieparzysta, zatem zajmijmy się tylko argumentami większymi od zera. Weźmy dwa argumenty: x_1 oraz x_2 takie, że x_1 < x_2. Obliczmy wartość:
f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{1+x_1^2} - \frac{x_2}{1+x_2^2}} = \frac{x_1(1+x_2^2) - x_2(1+x_1^2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)}
Interesuje nas znak tej różnicy. Mianownik jest zawsze dodatni, zatem zajmijmy się licznikiem:
x_1(1+x_2^2) - x_2(1+x_1^2) = x_1 + x_1x_2^2 - x_2 - x_2x_1^2 = x_1 - x_2 + x_1x_2(x_2 - x_1) = (x_1-x_2)(1-x_1x_2)
Zgodnie z założeniem wyrażenie w lewym nawiasie jest zawsze ujemne. Zastanówmy się, co z prawym nawiasem. Jeżeli 1 \le x_1 < x_2, to wyrażenie jest zawsze ujemne, zatem f(x_1) - f(x_2) > 0, czyli dla x \ge 1 funkcja jest malejąca. Jeżeli 0 \le x_1 \< x_2 \le 1, to wyrażenie w prawym nawiasie jest zawsze dodatnie, wtedy f(x_1) < f(x_2) dla x \in [0;1]. W takim razie nasza funkcja rośnie dla argumentów od zera do jedynki, potem maleje. Zatem podejrzewamy, że dla x=1 będziemy mieli wartość największą w danym przedziale. Pozostaje to tylko udowodnić.
Teraz korzystając z nieparzystości funkcji podejrzewamy, że dla x=-1 funkcja przyjmie wartość najmniejszą dla argumentów ujemnych, co też pozostaje udowodnić. Teraz tylko trzeba wykazać, że wartość dla x=1 jest wartością największą dla wszystkich argumentów, czyli wtedy wystarczy pokazać, że dla każdego x z przedziału (-\infty;0] funkcja przyjmuje wartość mniejszą. Z minimum robimy analogicznie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji - zadanie 2  wasik12  2
 wyznacz najmniejsza i największa wartość funkcji  mycha-mycha1  2
 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji  organi  4
 Wyznacz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji  osaosaosa  0
 Wyznacz najmniejsza i największą wartośc funkcji  wojtek6214  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl