szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2012, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 19
1. Pokaż, że suma kwadratów liczb względnie pierwszych z liczbą 3 nie dzieli się przez 3.
2. Pokaż, że jeżeli liczba n jest względnie pierwsza z 6, to zachodzi podzielność 24\left| n ^{2} -1

Prosiłbym o co najmniej naprowadzenie jak dane zadanie wykonać oraz możliwie zrozumiały opis wykonania.

Będę bardzo wdzięczny jak ktoś się pofatyguje pomyśleć chociażby nad jednym.

Dziękuję. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2012, o 18:58 
Użytkownik

Posty: 314
Lokalizacja: Puławy
zad1.
Kwadrat dowolnej liczby całkowitej względnie pierwszej z 3 daje reszte z dzielenia przez 3 jeden.
Dowód:
x\in \mathbb{C}
x\equiv 1 \pmod{3} \vee x\equiv 2 \pmod{3}
x ^{2} \equiv 1 \pmod{3} \vee x ^{2} \equiv 4 \pmod{3}
x ^{2}\equiv 1 \pmod{3}
Tak więc suma tych kwadratów da reszte z dzielenia przez 3 dwa:
a ^{2}\equiv 1 \pmod{3}
b ^{2}\equiv 1 \pmod{3}
b ^{2}+a ^{2}\equiv 2 \pmod{3}

Radzę nie sugerować się moimi dowodami. Patrz tylko na tezy. "Dowody" wrzuciłem po to żeby sprawdzić czy dobrze rozumiem te przystawanie. Kogoś mądrzejszego proszę o ewentualne sprawdzenie :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lut 2012, o 19:00 
Użytkownik

Posty: 1278
Wydaje mi się, że mógłbyś odnaleźć rozwiązania tych zadań przez forumową wyszukiwarkę.

2. Liczby względnie pierwsze z 6 mają postać 6n+k,\ k=\pm 1 (dlaczego?) - jak podniesiesz to już do kwadratu, to trzeba tylko uwidocznić to, co chcesz udowodnić.

1. Analogicznie - takie liczby mają postać 3n+k,\ k=\pm 1. Podnieś dwie (niekoniecznie równe) liczby tej postaci do kwadratu i zsumuj. Przeanalizuj możliwe reszty z dzielenia przez 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2012, o 19:54 
Użytkownik

Posty: 19
Nie za bardzo rozumiem.

Korzystając z powyższego sposobu w zadaniu pierwszym:
3\left|\left(3n \right)  ^{2}+k ^{2}
3\left|9n ^{2}+k ^{2}

I założenie, ze k nie jest podzielne przez 3? Jakoś to trochę naciągane się wydaje.

Tak samo zadanie drugie:
24\left|36n ^{2} +k-1

Z założeniem, że k nie jest podzielne przez 2 i 6? To się nawet nie zgadza. Przypuśćmy, że podstawię za n=1 a k=7...

-- 15 lut 2012, o 20:24 --

Jeszcze jeden problemowy przykład:
8. Pokazać, że dla każdej naturalnej liczby n zachodzi podzielność35 \left|6 ^{2n}-1.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lut 2012, o 20:31 
Użytkownik

Posty: 1278
To nie tak.

Po pierwsze w ogólności kwadrat sumy nie jest równy sumie kwadratów, więc źle obliczasz.

Po drugie, w przedstawieniu m=3n+k liczba k jest resztą z dzielenia m przez 3, więc, niejako z definicji, 0\le k\le 2.
Dopuszczalna jest ujemna reszta - mówiąc obrazowo jest to tyle, ile brakuje do kolejnej wielokrotności, zamiast tyle, ile jest za dużo. W dzieleniu przez 3 reszta -1 jest tym samym, co reszta 2.

Po trzecie założenie zadania - względna pierwszość, wyklucza k=0 w pierwszym przykładzie i k=0,2,3,4 w drugim przykładzie - miałeś się zastanowić dlaczego.

Po czwarte możesz nawet przyjąć k=7, choć łatwiej by się liczyło z k=1, bo to jest to samo.

Edit: W dopisanym przykładzie podzielność wynika wprost z rozwinięcia wzoru na różnicę potęg.

6^{2n}-1=36^n-1=(36-1)\left(36^{n-1}+36^{n-2}+...+36+1\left)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielność przez 75  jadzia!!!  2
 Liczba pierwsza, podzielność  patry93  7
 Podzielność liczby całkowitej przez 3  shep4rd  2
 Podzielność przez 2007  szymek12  1
 udowodnij że liczba  Zen  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl