szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2012, o 22:05 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: bliżej nie określona
Nie mam pojęcia jak mam się zabrać za takie zadanie:
Udowodnij, że jeżeli m,n są liczbami całkowitymi i liczba m ^{2} +n ^{2} jest podzielna przez 3 to liczby m,n są podzielne przez 3
Proszę o podpowiedzi,
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lut 2012, o 22:11 
Użytkownik

Posty: 1278
Nie wprost, korzystając z faktu, że kwadraty liczb niepodzielnych przez 3 dają w dzieleniu przez 3 resztę 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2012, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: bliżej nie określona
Może być tak?
Dowód: (nie wprost)
Przypuśćmy, że liczby m,n nie są podzielne przez 3, zatem możemy zapisać:
m=3k+1, n=3k+2, gdzie k \in \mathbb{Z}
Zatem:
(3k+1) ^{2} + (3k+2) ^{2} =12k ^{2} +3+2

Czy wystarczy, że przyjmę m=3k+1, n=3k+2, czy muszę też rozpatrzeć m=3k+2, n=3k+1 oraz m=3k+2, n=3k+2 i m=3k+1, n=3k+1??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lut 2012, o 23:29 
Użytkownik

Posty: 1278
W tym dowodzie ważny jest fakt, że masz wykazać podzielność obu tych liczb jednocześnie. Dlatego, gdy zaprzeczasz tezie, zakładasz, że co najmniej jedna z liczb nie jest podzielna przez 3.
Poza tym oznaczenia są niefortunne - zauważ, że u Ciebie m,n są kolejnymi liczbami, przez co tracisz ogólność.

Spróbuj tak: m=3t+u,\ n=3s+v, gdzie określamy reszty następująco: -1\le u,v\le 1, przy czym co najmniej jedna z liczb u,v nie jest zerem. Teraz oblicz m^2+n^2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2012, o 00:02 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: bliżej nie określona
m ^{2} +n ^{2} =3(3t ^{2} +3s ^{2} +2tu+2sv)+u ^{2} + v^{2}  \le 3(3t ^{2} +3s ^{2} +2tu+2sv)+2 a z tego wynika, że reszta z dzielenia zawiera się w przedziale (0,2>
Teraz ok? Tyle należało pokazać?
I jeszcze mam takie pytanie:
Zamiast -1\le u,v\le 1 nie może być -2\le u,v\le 2, bo 2 to też reszta z dzielenia przez 3?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 lut 2012, o 00:21 
Użytkownik

Posty: 1278
-1\le u,v\le 1 - Taki wybór jest imho wygodny, bo gwarantuje, że u^2+v^2 nie może przekroczyć trójki. Nie może też być zerem, bo przynajmniej jedna z liczb u,v zerem nie jest. Wobec tego liczba m^2+n^2 nie jest podzielna przez 3, a więc mamy sprzeczność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2012, o 00:27 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: bliżej nie określona
Dziękuję za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl