szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Udowodnij ....
PostNapisane: 12 lut 2007, o 21:13 
Użytkownik

Posty: 281
Lokalizacja: Tarnowskie Gory
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 :
5|n^{5}-n
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Udowodnij ....
PostNapisane: 12 lut 2007, o 21:16 
Gość Specjalny

Posty: 2826
Lokalizacja: Lublin/warszawa
http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28753
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Udowodnij ....
PostNapisane: 13 lut 2007, o 00:34 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Pozwolę sobie przedstawić dwie nieindukcyjne metody dowodzenia:
1. Zauważmy, że n^5 -n=n(n^4 -1)=n(n^2 -1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)[ n^2 -4 +5]=(n-1)n(n+1)[ (n-2)(n+2)+5]=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)
Pierwszy składnij tej sumy to iloczyn pięciu liczb naturalnych, zatem któraś z nich jest podzielna przez 5, drugi składnik jest oczywiście wielokrotnością piątki, więc cała suma jest podzielna przez 5, czyli 5| n^5 - n.
2. Korzystając z małego twierdzenia Fermata mamy n^5 \equiv n ( \mod 5), czyli 5| n^5 - n.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij, ze ulamek jest nieskracalny.  lenkaja  2
 udowodnij przez indukcje - zadanie 2  FEMO  4
 Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej - zadanie 2  blade  2
 udowodnij indukcyjnie, że zachodzi nierówność  paczzuss  7
 Udowodnij równość - zadanie 46  PinkiePie  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl