szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 lut 2012, o 20:15 
Użytkownik

Posty: 148
Udowodnij, że jeżeli długości boków a, b, c pewnego trójkąta spełniają nierówność a< \frac{b+c}{2}, to miary kątów leżących naprzeciwko tych boków spełniają nierówność \alpha < \frac{ \beta +\gamma}{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lut 2012, o 19:55 
Moderator

Posty: 4431
Lokalizacja: Łódź
Jeśli R oznacza długość promienia okręgu opisanego na trójkącie, to z twierdzenia sinusów mamy a=2R\sin\alpha, b=2R\sin\beta, c=2R\sin\gamma.
Stąd i z założenia mamy
\sin\alpha<\frac{\sin\beta+\sin\gamma}{2}=\frac{2\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}{2}=\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}\le\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cdot 1=\sin\frac{\beta+\gamma}{2}.

Trzeba teraz jeszcze zauważyć, że \alpha oraz \frac{\beta+\gamma}{2} są kątami ostrymi.
Bok a nie jest najdłuższym bokiem w trójkącie, bowiem w przeciwnym razie mielibyśmy a<\frac{b+c}{2}\le\frac{a+a}{2}=a, a to jest niemożliwe. Zatem kąt \alpha nie jest kątem o największej mierze (spośród \alpha, \beta, \gamma), bo naprzeciw dłuższego boku leży kąt o większej mierze. Zatem \alpha jest kątem ostrym.
Spróbuj wykazać, że \frac{\beta+\gamma}{2} też jest kątem ostrym (skorzystaj z sumy kątów w trójkącie).

Swoją drogą bardzo ciekawe zadanie.
Pozdrawiam :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 lut 2012, o 14:01 
Użytkownik

Posty: 148
no to wychodzi że: \frac{ \beta +\gamma}{2} = 90 - \frac{ \alpha }{2} i to jest kąt ostry a jak dojść do tego że \alpha < \frac{ \beta +\gamma}{2} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2012, o 16:27 
Moderator

Posty: 4431
Lokalizacja: Łódź
Skoro \alpha, \frac{\beta+\gamma}{2} są kątami ostrymi i zachodzi nierówność \sin\alpha<\sin\frac{\beta+\gamma}{2}, to z monotoniczności funkcji sinus na przedziale \left(0,\frac{\pi}{2}\right) wynika, że \alpha<\frac{\beta+\gamma}{2}.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 25 lut 2012, o 15:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1368
Lokalizacja: Katowice
bez sinusów:

niech ten trójkąt to ABC i przyjmijmy standardowe oznaczenia, niech ponadto D oznacza środek łuku BC zawierającego punkt A okręgu (ABC)

rozważmy elipsę e o ogniskach B,C przechodzącą przez A oraz trójkąt równoboczny BCX zbudowany do wewnątrz trójkąta ABC

z podstawowych własności elipsy wnioskujemy, iż AD jest styczną do e, w szczególności D leży na zewnątrz tej elipsy; ponadto CX+XB=2BC<CA+AB, więc punkt X leży wewnątrz elipsy e

stąd łatwo widzieć, że X leży wewnątrz okręgu (ABCD), wobec tego \alpha = \angle CAB < \angle CXB = \frac \pi 3 \implies \alpha < \frac{\beta+\gamma}{2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dwa boki  kometka  4
 Jeśli kąty spełniają warunek, to trójkąt jest prostokątny...  tometomek91  1
 Boki i kąty w trójkącie.  Bodzio-fanatyk  0
 boki trójkąta - zadanie 22  inka_pl  1
 Mając dane kąty trójkąta oblicz miarę innego kąta  Rantaurel  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl