szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 23 lut 2012, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 157
Lokalizacja: PL
Czy móglby mi ktoś pomóc w wykazaniu tych wzorów? Najlepiej tak krok po kroku.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi wzór:

a) 2^{3} +  4^{3} + ... +  (2n)^{3} =   2(2+4+...+2n)^{2}

b) 1^{3} +  3^{3} + ... +  (2n-1)^{3} =  n^{2} ( 2n^{2} - 1)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 23 lut 2012, o 22:20 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
Spróbowałaś chociaż zacząć?
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 25 lut 2012, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 157
Lokalizacja: PL
Chodzi o to, że nie wiem nawet jak zacząć dlatego chcialabym żeby ktoś mi napisał i wytlumaczył chociaż jeden przykład tak krok po kroku.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 25 lut 2012, o 21:34 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
Sprawdź czy równość zachodzi dla n = 1, potem założenie i teza, to chyba umiesz zrobić? Z dowodem mogę pomóc
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 25 lut 2012, o 22:42 
Użytkownik

Posty: 157
Lokalizacja: PL
a) 2^{3} +  4^{3} + ... +  (2n)^{3} =   2(2+4+...+2n)^{2}
1. Dla n=1
8=8, prawda
2. Zalóżmy, że 2^{3} +  4^{3} + ... +  (2n)^{3} =   2(2+4+...+2n)^{2} zachodzi dla pewnego n. Udowodnimy dla n+1.
2^{3} +  4^{3} + ... +  (2n)^{3} +  (n+1)^{3} =   2(2+4+...+2n)^{2} + (n+1)^{3} i dalej nie wiem jak


b) 1^{3} +  3^{3} + ... +  (2n-1)^{3} =  n^{2} ( 2n^{2} - 1)

1. Dla n=1
1= 1 , prawda
2. Założmy, że 1^{3} +  3^{3} + ... +  (2n-1)^{3} =  n^{2} ( 2n^{2} - 1) zachodzi dla pewnego n. Udowodnimy dla n+1.

1^{3} +  3^{3} + ... +  (2n-1)^{3} +  (n+1)^{3}  =  n^{2} ( 2n^{2} - 1) + (n+1)^{3} = 2n^{4} - n^{2} +  n^{3} +  3n^{2} + 3n + 1 = 2n^{4} + 2n^{2} + 3n +  n^{3}+1 = .... ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 25 lut 2012, o 23:10 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
2^{3} + 4^{3} + ... + (2n)^{3} + (n+1)^{3} = 2(2+4+...+2n)^{2} + (n+1)^{3}

To ci nic nie daje. Po odjęciu stronami nadal masz to, co miałaś wcześniej. Powinno wyglądać tak:

Założenie, n = k

2^{3} + 4^{3} + ... + (2k)^{3} = 2(2+4+...+2k)^{2}

Teza, n = k +1

2^{3} + 4^{3} + ... + (2k)^{3} + (2k+2)^{3} = 2(2+4+...+2k+2k+2)^{2}\\

\\P = 2(2+4+...+2k+2k+2)^{2} = 2( \frac{2 + 2k + 2}{2} \cdot (k+1))^2 = 2[(k+1)(k+2)]^2

I do tego staramy się doprowadzić. Teraz trzeba dowieść:

L = 2^{3} + 4^{3} + ... + (2k)^{3} + (2k+2)^{3} = (korzystamy z założenia) 2(2+4+...+2k)^{2} + (2k+2)^{3} = 2( \frac{2 + 2k}{2}\cdot k)^2 + 2^3(k+1)^3 = 2[(k+1)k]^2 + 8(k+1)^3 = 2k^2\cdot(k+1)^2 + 8(k+1)^3 = 2(k+1)^2(k^2+4k+4) = 2(k+1)^2(k+2)^2 = 2[(k+1)(k+2)]^2

c.n.d

Drugie spróbuj już sama.
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 25 lut 2012, o 23:23 
Użytkownik

Posty: 157
Lokalizacja: PL
Cytuj:

Teza, n = k +1

2^{3} + 4^{3} + ... + (2k)^{3} + (2k+2)^{3} = 2(2+4+...+2k+2k+2)^{2}\\


Mam pytanie: skąd sie wzięło (2k+2)^{3} ? Nie powinno być (k+1)^{3} ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 25 lut 2012, o 23:30 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
Chodzi o kolejną liczbę naturalną, która jest po k, czyli k+1, więc za n podstawiasz k+1, czyli (2n)^3 = [2(k+1)]^3 = (2k+2)^3
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 26 lut 2012, o 00:05 
Użytkownik

Posty: 157
Lokalizacja: PL
b) 1^{3} +  3^{3} + ... +  (2n-1)^{3} =  n^{2} ( 2n^{2} - 1)

1. Dla n=1
1= 1 , prawda
2. Założmy, że 1^{3} +  3^{3} + ... +  (2n-1)^{3} =  n^{2} ( 2n^{2} - 1) zachodzi dla pewnego n. Udowodnimy dla n+1.

Założenie, n = k

1^{3} +  3^{3} + ... +  (2k-1)^{3} =  k^{2} ( 2k^{2} - 1)

Teza, n = k +1

1^{3} +  3^{3} + ... +  (2k-1)^{3} + (2k-1)^{3}  =  k^{2} ( 2k^{2} - 1 + (2k-1)) ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 26 lut 2012, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
Jak piszesz, ze n = k, to zmieniaj n na k.

Poza tym 2k-1, 2(k+1) - 1 = 2k + 1. I wszystko musisz pozamieniać. Ma wyglądać tak:

1^{3} + 3^{3} + ... + (2k-1)^{3} + (2k+1)^{3} = (k+1)^{2} [ 2(k+1)^{2} - 1]
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 26 lut 2012, o 00:57 
Użytkownik

Posty: 157
Lokalizacja: PL
I wtedy:

P= (k+1)^{2} [ 2(k+1)^{2} - 1] = \left( k^{2} +2k+1\right) [2 \left( k^{2} +2k+1\right) -1] = \left( k^{2} +2k+1\right) \left (2k^{2}+4k-1 \right) = 2k^{4} + 6k^{3} + 9k^{2} -2k-1 ??
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 26 lut 2012, o 01:07 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
2-1 = 1 a nie -1

Ogólnie to zastanawiam się czy nie można tego jakoś ładniej policzyć niż wymnażać to wszystko. No ale dziś już mi się nie chce. Tym sposobem też Ci wyjdzie.
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Wykazanie wzoru
PostNapisane: 26 lut 2012, o 02:09 
Użytkownik

Posty: 157
Lokalizacja: PL
Wyszło :) Dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowodzenie wzoru drogą indukcji  Hołek  2
 Wykazanie równania - zadanie 2  dragon_311  1
 Udowodnij prawdziwość wzoru  Marta99  4
 Udowodnić prawdziwość wzoru  ?o?-i?ek  2
 udowodnienie wzoru jawnego ciągu  uczen23  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl