szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2012, o 16:24 
Użytkownik

Posty: 121
Lokalizacja: nie mam pojęcia:)
Znajdź wszystkie funkcje rzeczywiste które spełniają warunekf^2(x+y)=f^2(x)+f^2(y)

Mógłby ktoś nakierować? Dziękuję. Domyślam się że to będzie np. f(x)= \sqrt{x} lecz nie wiem jak to wykazać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2012, o 16:47 
Użytkownik

Posty: 151
Lokalizacja: tarnów
Jeżeli dziedziną ma być x \in R. to \sqrt{x} nie będzie dobry
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2012, o 17:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
f^2(x+y) = f^2(x) + f^2(y)

Podstawiając x=y=0 dostajemy f(0)=0 podstawiając y=-x dostajemy f^2(x) = -f^2(-x), czyli definiując g(x) = f^2(x) mamy oczywiście g(x) \ge 0 oraz g(x) = -g(-x) czyli g(x) jest funkcją nieparzystą, ale g(x) \ge 0 a z tego wynika, że g(x) = 0 z czego wynika f(x) = 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2012, o 19:15 
Użytkownik

Posty: 121
Lokalizacja: nie mam pojęcia:)
A to?
f \left(  \frac{1}{x} \right) +f \left( 1-x \right) =x dla x \neq 0, \ x \neq 1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2012, o 20:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
(*) f \left(  \frac{1}{x} \right) +f \left( 1-x \right) =x

Podstawiając do * x = \frac{1}{x} dostajemy f(x)+f(1-\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}

Teraz podstawiając do * x = 1-x dostajemy f\left(\frac{1}{1-x}\right)+f(x)=1-x

Mamy więc:

\begin{cases} f(x)+f(1-\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}\\ f\left(\frac{1}{1-x}\right)+f(x)=1-x\end{cases}

Odejmując te równania stronami dostajemy:

f\left(\frac{1}{1-x}\right)-f\left(1-\frac{1}{x}\right) = 1-x-\frac{1}{x}

Podstawiając tutaj x = \frac{x}{x-1} dostajemy:

f(1-x)-f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}+\frac{x}{1-x}

Jednak z * mamy f(1-x) = x-f\left(\frac{1}{x}\right) czyli dostajemy:

x-2f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}+\frac{x}{1-x}

Wstawiając tutaj x = \frac{1}{x} dostajemy:

\frac{1}{x}-2f(x) = x+\frac{1}{x-1}  \Leftrightarrow f(x) = \frac{-x^3+x^2-1}{2x(x-1)}

Pozostaje bezpośrednio wstawiając daną funkcję do wyjściowego równania sprawdzić, że istotnie spełnia ona tezę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2012, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 151
Lokalizacja: tarnów
Super profesjonalnie jak na 15-sto latka.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie funkcyjne - zadanie 2  przemk20  6
 równanie funkcyjne - zadanie 4  MatizMac  6
 Równanie funkcyjne - zadanie 8  patry93  5
 Równanie funkcyjne - zadanie 9  rectussss  5
 równanie funkcyjne - zadanie 13  binaj  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl