szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 mar 2012, o 16:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 95
Gdzie mógłbym znaleźć prawidłową definicję funkcji, albo jakby ktoś mógł podać, chodzi o taką w której każdy wyraz będę mógł zdefiniować, czyli żeby nie pojawiały się słowa takie jak np. przyporządkowanie, przypisanie itp.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 mar 2012, o 16:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18433
Lokalizacja: Cieszyn
One muszą się w ten czy inny sposób pojawić.

Można zdefiniować funkcję jako relację. Relacją w zbiorze X\times Y nazywamy każdy podzbiór zbioru X\times Y.

Mówimy, że relacja f\subset X\times Y jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki:

1. Dla każdego x\in X istnieje y\in Y takie, że (x,y)\in f,

2. Dla każdych x\in X,\;y_1,y_2\in Y, jeśli (x,y_1)\in f oraz (x,y_2)\in f, to y_1=y_2.

Fakt, że (x,y)\in f zwyczajowo zapisujemy w postaci y=f(x).

Warunek 1. mówi, że każdemu elementowi x przypisano jakiś element y. Warunek 2. mówi, że przypisanie to jest jednoznaczne. Powyższą definicję funkcji można znaleźć np. w książce Rasiowej "Wstęp do matematyki współczesnej" i chyba w zbiorze zadań Onyszkiewicza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 mar 2012, o 21:10 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
To jest definicja funkcji, kładąca nacisk na obiekty przekształcane. Jest jeszcze druga definicja, kładąca nacisk na fakt przekształcania:

Funkcją nazywamy dowolny zbiór par uporządkowanych f o tej własności, że dla dowolnych x,y,z, jeśli \left\langle x,y\right\rangle  \in f i \left\langle x,z\right\rangle \in f, to y=z.

Oczywiście obie definicje są równoważne.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 mar 2012, o 23:51 
Użytkownik

Posty: 716
szw1710 napisał(a):
One muszą się w ten czy inny sposób pojawić.

Można zdefiniować funkcję jako relację. Relacją w zbiorze X\times Y nazywamy każdy podzbiór zbioru X\times Y.

Mówimy, że relacja f\subset X\times Y jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki:

1. Dla każdego x\in X istnieje y\in Y takie, że (x,y)\in f,

2. Dla każdych x\in X,\;y_1,y_2\in Y, jeśli (x,y_1)\in f oraz (x,y_2)\in f, to y_1=y_2.


Jeśli można spytać, a propos tej definicji:

Niech X=\left\{ 1,2,3\right\}, Y=\left\{ 1,2,5\right\}, A=\left\{ 1,2\right\}

Rozważmy relacje f \subset X \times Y, g\subset A \times Y, f=\left\{ (1,2),(2,5)\right\}, g=\left\{ (1,2),(2,5)\right\}

prawdziwa jest koniunkcja \forall_{x \in A}\exists_{y \in Y} \ (x,y) \in g \wedge  \neg \left(\forall_{x \in X}\exists_{y \in Y} \ (x,y) \in f\right)

W myśl powyższej definicji g \subset A \times Y jest funkcją i f \subset X \times Y nie jest funkcją.
Jednakże z równości zbiorów mamy, że funkcja jest równa nie-funkcji f=g=\left\{ (1,2),(2,5)\right\}.

Czy to rozumowanie jest prawidłowe? Jeśli nie, to gdzie jest błąd? Jeśli tak, to nie prowadzi to do sprzeczności?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2012, o 00:55 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
f i g są równe jako zbiory i jako funkcje w sensie podanej przeze mnie definicji.

Definicja podana przez szw1710 f nie jest definicją funkcji, tylko definicją funkcji ze zbioru X w zbiór Y. I stąd bierze się różnica: g jest funkcją ze zbioru A w zbiór Y, ale nie jest funkcją ze zbioru X w zbiór Y.

Każda z tych dwóch definicji ma swoje zady i walety. Próbą obejścia wskazanej przez Ciebie niedogodności, związanej z pierwszą definicją, jest rozważanie funkcji częściowych.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2012, o 12:20 
Użytkownik

Posty: 716
Rozumiem, dziękuję za odpowiedź.

A mógłby pan na koniec podać przykład wady tej definicji, którą pan podał?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2012, o 17:35 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
Jest mniej intuicyjna, pewne pojęcia, np. surjekcja, tracą sens.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl