szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 21:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
wykaż ze dla kazdej liczby calkowitej n liczba n^7-n jest podzielna przez 7
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 21:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Skorzystaj z małego twierdzenia Fermata.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 21:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Pytanie, czy gdy nie umiem symbolu Newtona, czyli chyba to \sum_{}^{} ani nie umiem odczytać znaku Z ^{*}  _{p} ani k|p-1 ani znaku równości z jeszcze jedną kreską, ani mod p to czy będę mógł te zadanie rozwiązać? (nie umiem bo tych rzeczy nie miałem i w liceum raczej nie przerobie w szkole).

Czy tak czy nie to i tak prosiłbym o wytłumaczenie tych symboli, bo nauka ich i tak mnie nie ominie :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 21:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
n^7-n = (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7(2n^5-7n^3+5n)

Pierwszy składnik po prawej stronie jest iloczynem 7 kolejnych liczb całkowitych, w którym zawsze znajdzie się jedna liczba podzielna przez 7, a w drugim składniku jednym z czynników jest 7, więc jest on też podzielny przez 7.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 21:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Zapis a^p-a\equiv 0\pmod{p} oznacza,mówiąc najprościej ,że liczba a^p-a daje w dzieleniu przez p resztę 0, czyli jest podzielna przez p.

Co do symboli :
np.\sum_{k=1}^{n}a^k oznacza sumę a^1+a^2+...+a^n czyli dodajemy kolejne wyrażenia pod znakiem sumy, podstawiając za k kolejne liczby od 1 do n

\mathbb{Z} ^{*} _{p} to grupa z działaniem mnożenia modulo p - dokładniej będziesz się tego uczył na algebrze abstrakcyjnej.

\equiv to przystawanie

k|p-1 czytamy " k dzieli p-1" lub "p-1 jest podzielne przez k"

Oczywiście to zadanie możesz także rozwiązać stosując zasadę indukcji matematycznej lub tak jak napisał Vax
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 22:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
O dzięki.

Vax, a to jest rozpisane ze wzoru skróconego mnożenia? Ewentualnie jak nie, to czy sie da.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 22:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Zauważyłem, że jakby znaleźć takie całkowite x, że n^7-n = (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7x, to pokazalibyśmy tezę i faktycznie wymnażając wszystko dostajemy to co w poprzednim poście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 22:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Cytuj:
Pierwszy składnik po prawej stronie jest iloczynem 7 kolejnych

więc samo to (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) wiedząc, że jest podzielne przez 7 i jednocześnie równe n ^{7} -n nie wystarczy?

I wymnażając co dostaniemy to dalsze
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 22:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Tamten iloczyn nie jest równy n^7-n ;) Musimy do tego dodać jakiś składnik i chcemy, aby ten składnik był podzielny przez 7, wtedy będziemy mieli sumę dwóch wyrażeń podzielnych przez 7, co będzie podzielne przez 7.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 22:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
To ten długi nawias trzeba wymnożyć? Bo mi jakoś nie wychodzi to. Mam wynik z wymnozenia:

n^{7} -26n ^{5} -72n^{4} -83n^{3} -72n^{2} -66n i do tego dodajac ten nawias widać, ze to samo nie wyjdzie.

ale robiąc n ^{3} -n=(n-1)n(n+1)i jest ok, nic nie trzeba dodawać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Tak, trzeba wymnażać, (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) = n^7-14n^5+49n^3-36n, tak więc:

n^7-n = (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7x  \Leftrightarrow 7x = 14n^5-49n^3+35n  \Leftrightarrow x = 2n^5-7n^3+5n

denatlu napisał(a):
ale robiąc n ^{3} -n=(n-1)n(n+1)i jest ok, nic nie trzeba dodawać.


Tak, ale w tym przykładzie tak ładnie się to nie rozłoży :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2012, o 22:47 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
n^7-n=n(n^6-1)=n(n^3-1)(n^3+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)=(n-1)n(n+1)((n+3)(n-2)+7)((n-3)(n+2)+7)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2012, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 42
Lokalizacja: Opolskie
kamil13151 napisał(a):
n^7-n=n(n^6-1)=n(n^3-1)(n^3+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)=(n-1)n(n+1)((n+3)(n-2)+7)((n-3)(n+2)+7)

Dlaczego tak rozłożyłeś/aś te dwa ostatnie nawiasy ?? Jak na to wpaść ..
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykaz podzielnosc przez 7 - zadanie 2  misio_klb  1
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl