szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 21:19 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
W trójkącie prostokątnym długości wysokości i środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego oraz długość przeciwprostokątnej tworzą ciąg geometryczny, w którym iloczyn wyrazów jest równy 8. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Moje rozwiązanie i rysunek. Będę wdzięczny o sprawdzenie i poprawienie
http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/pel ... 36a77.html
Niech pierwszy wyraz to d czyli wysokość to d a środkowa to dq Czyli przeciwprostokątna to 2dq na mocy że środkowa jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Zapiszę iloczyn dq \cdot d \cdot 2dq=2d ^{3}q ^{2}=8 dzielę przez 2 i mam d ^{3}q ^{2}=4 Od razu widać że nie ma innej możliwości jak d=1 i q=2. Więc nasza wysokość to 1, środkowa 2 a przeciw prostokątna 4. Teraz policzę odcinek między wysokością a środkową z pitagorasa. 1 ^{2}+x ^{2}=4 czyli x= \sqrt{3} Teraz odcinek między wysokością a bokiem po prawej stronie stronie, patrz rysunek ma długość 2- \sqrt{3}. Potem można wyliczyć bok po prawej stronie(przyprostokątną). Dalej można skorzystać z twierdzenia o dwusiecznej i wyliczyć bok po lewej stronie stronie i by wychodziło że przyprostokątne są równej długości ale patrząc na koniec nie jest spełnione twierdzenie pitagorasa dla całego trójkąta więc coś jest źle z bokami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 21:34 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
major37 napisał(a):
i by wychodziło że przyprostokątne są równej długości


Nie do końca, bo masz taki układ równań:

y^2 = 1^2 + (2- \sqrt{3})^2\\
z^2 = 1^2 + (2+ \sqrt{3})^2

Więc przyprostokątne są różne. Nie zmienia to faktu, że lepiej wyliczyć xy ze wzoru na pole i później skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i masz policzone x + y i prawie koniec zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
Ale to co ja mam źle ? W którym miejscu mam błąd ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 21:47 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
Jeżeli wychodzi Ci, że przyprostokątne są równe, to pewnie źle korzystasz z twierdzenia o dwusiecznej. Poza tym jeżeli już chcesz wyliczyć oddzielnie bok a i bok b, to łatwiej skorzystać dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa (tak jak napisałem w poście wyżej).
Jednak jest to gorsza metoda, bo wychodzą nieładne liczby.

Jeszcze może przyczepię się do tego:
"Od razu widać że nie ma innej możliwości jak d=1 i q=2"
Tak wcale nie musi być, q powinieneś policzyć, korzystając z tego, co napisałeś wcześniej, czyli że środkowa jest połową przeciwprostokątnej (ale i tak wyjdzie, że q=2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 22:06 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
y-druga przyprostokątna ta po prawej.
No skoro dwusieczna jest 2 to i połowa przeciwprostokątnej jest dwa. Więc na mocy twierdzenia o dwusiecznej mamy \frac{2}{2}= \frac{y}{2- \sqrt{3} } i stąd mi wyszło że przyprostokątne są równej długości. Nie wiem jak policzyć inaczej to q i że to nie musi być q. Mógł byś to pokazać jak zrobić że środkowa jest równa 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
Chcesz powiedzieć, że dwusieczna dzieli bok na połowę? Z resztą w tym zadaniu nie ma mowy o dwusiecznej ; p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
A no nie. Przeciwprostokątna jest 4 ale nie znaczy że dwusieczna ją dzieli na połowę :) No to pokaż mi jak możesz jak policzyć inaczej tą środkową żeby wyszła dwa i wysokość jeden.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
Ok po kolei.

W zadaniu nie ma mowy o dwusiecznej, tylko o środkowej. Nawet gdyby była dwusieczna, to twierdzenie o dwusiecznej wygląda trochę inaczej, tzn nie brana jest w nim pod uwagę długość samej dwusiecznej (zobacz sobie na Wikipedii).

Teraz jak policzyc q:
Oznaczę sobie te 3 długości tak: h - wysokość, s - środkowa, c - przeciwprostokątna.
(h,s,c) - ciąg geometryczny. Wiem, że s =  \frac{1}{2}c, więc q =  \frac{c}{s} =  \frac{c}{ \frac{1}{2}c } = 2

A jak najłatwiej obliczyć dlugość promienia, to już napisałem w pierwszym poście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 22:22 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
Dobra tą dwusieczną zostawmy w spokoju bo mi się pokićkało :) Od razu początku nie wiem. Nigdzie nie jest napisane że środkowa ma długość \frac{1}{2} więc nie wiem skąd to masz ?

-- 12 mar 2012, o 22:23 --

chwila bo zmieniłeś teraz

-- 12 mar 2012, o 22:26 --

To my policzyliśmy teraz że iloraz jest 2 ale jak policzyć że środkowa też jest dwa i wysokość jeden ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 22:35 
Użytkownik

Posty: 983
Lokalizacja: Ostrołęka
Z tego, co napisałeś na początku:

Wiesz, że q = 2, więc:

h ^{3}q ^{2}=4\\
h ^{3}=1\\
h = 1\\
hq = s = 2\\
hq^2 = 2hq = c = 4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2012, o 22:36 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
A no :) No to dziękówka za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Kąt pomiędzy środkową i wyskością w trójkącie  arigo  3
 Wyznacz miarę kąta pomiędzy bokiem, a środkową trójkÄ  Anonymous  1
 pole trojkata ktorego boki tworza ciag arytmetyczny  epimeteusz  1
 Wysokość trójkąta, a promień okręgu wpisanego  Rothman  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl