szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2012, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, dla których liczba n^{2}+1 jest podzielna przez 13.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2012, o 22:43 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Sprawdź, co się dzieje, gdy n jest postaci 13k+5.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2012, o 22:45 
Użytkownik

Posty: 716
5^2\equiv -1 \pmod{13} \Rightarrow (5^{2k+1})^2\equiv -1 \pmod{13}, k \in \mathbb{N}

Chyba powinienem iść spać :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2012, o 18:29 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Jeśli za n podstawie 13k+5 to wychodzi mi:
169k^{2}+130k+25+1-13k=0

169k^{2}+117k+26=0
to wystarczy?

Rozwiązanie tatteredspire'a nie jest dla mnie zrozumiałe do końca, wytłumaczy ktoś?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2012, o 18:33 
Użytkownik

Posty: 716
A wiesz na czym polega modulo?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2012, o 18:40 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Nie.
Tzn. coś tam kojarzę, ale i tak nie rozumiem całego zapisu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2012, o 18:49 
Użytkownik

Posty: 716
No to z modulo wynika właśnie, że (5^{2k+1})^2\equiv -1 \pmod{13}, k \in \mathbb{N} czyli (5^{2k+1})^2 +1 jest podzielne przez 13 przy dowolnym k naturalnym stąd istnieje nieskończenie wiele liczb n postaci n=5^{2k+1} takich że n^2+1 jest podzielne przez 13
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2012, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Rozumiem, tylko napisz mi jeszcze skąd mam wiedzieć, że n=5^{2k+1} Teraz widzę, że tak musi być, ale jak do tego doszedłeś?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 mar 2012, o 08:34 
Użytkownik

Posty: 716
5^2\equiv -1 \pmod{13} - wychodząc z tego to zauważyłem (a to zauważyć nie trudno, bo 13 dzieli 26). Kongruencje o tym samym module można mnożyć stronami więc pomnożywszy to 2k+1 razy stronami otrzymuję tamtą postać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2012, o 01:11 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
[quote="WesolyPierozek"]Jeśli za n podstawie 13k+5 to wychodzi mi:
169k^{2}+130k+25+1-13k=0

169k^{2}+117k+26=0
to wystarczy?

tak właściwie to nie wystarczy dopóki nie wyłączysz z całości 13 przed nawias
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 mar 2012, o 07:57 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
WesolyPierozek napisał(a):
Jeśli za n podstawie 13k+5 to wychodzi mi:
169k^{2}+130k+25+1-13k=0

169k^{2}+117k+26=0
to wystarczy?

Rozwiązanie tatteredspire'a nie jest dla mnie zrozumiałe do końca, wytłumaczy ktoś?


No prawie dobrze, bo to nie jest równanie i nie przyrównujesz tego do 0, tylko przekształcasz, by uzyskać oczywistą podzielność. Ale mimo wszystko zadanie jest rozwiązane, bo zauważ, że:

169k^{2}+117k+26 = 13(13k^2 + 9k + 2).

PS. rozwiązanie tatteredspire jest identyczne, co moje, tyle że zapisane językiem kongruencji. Nie musisz się tego uczyć, bo to w większości przypadków nie jest konieczne, a jedynie ułatwia dostrzeżenie żądanych własności.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazywanie podzielności - zadanie 2  SuperMonia  2
 Wykazywanie podzielności  Christofanow  5
 wykazywanie podzielności  drmb  2
 Zadanie z podzielności - zadanie 4  Jestemfajny  1
 Cecha podzielności przez 7 - zadanie 2  leszczu450  14
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl