Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Funkcje elementarne » Funkcje wymierne

szereg Taylora - zadanie 38

Strona 1 z 1

[ Posty: 6 ]

Autor

Wiadomość

MenosGrandes Offline

Tytuł: szereg Taylora

Napisane: 28 mar 2012, o 14:12

Posty: 164
Lokalizacja: Łowicz

Mam rozwinać funkcje:
$f(x)=\frac{2-5x}{x^2-5x+6}$
w szereg Taylora o środku w punkcie $a=0$
Zaczynam od tego że rozkładam te funkcje na ułamki proste czyli licze delte i miejsca zerowe:
$\delta=1$
$x_{1}=2$ $x_{2}=3$
Wiec moja funkcja wyglada tak:
$\frac{A}{x-2} + \frac{B}{X-3} = \frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}$
i teraz wstyd sie przyznac .. ale dalej mi nic nie wychodzi..... nie wiem co dalej mam zrobić...
Pomóżcie;))!!

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019

Góra

JakimPL Offline

Tytuł: szereg Taylora

Napisane: 28 mar 2012, o 14:46

Posty: 2389
Lokalizacja: Katowice

Jak dobrze rozumiem, zamierzasz rozbić to na ułamki proste, by lepiej się liczyło pochodne. A więc do dzieła.

$\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3} = \frac{2-5x}{(x-2)(x-3)}$

Mnożymy obustronnie przez $(x-2)(x-3)$ , otrzymując:

$A(x-3)+B(x-2)=2-5x \\ Ax - 3A +Bx - 2B = 2-5x$

Grupujemy wyrazy:

$x(A+B) -3A -2 B=-5x+2$

Stąd z równości wielomianów:

$\begin{cases} A+B=-5 \\ -3A-2B=2 \end{cases}$

Rozwiązaniem tego prostego układu jest $A = 8$ oraz $B = -13$ . Stąd:

$\frac{2-5x}{(x-2)(x-3)}= \frac{8}{x-2} + \frac{-13}{x-3}$

Teraz już łatwo liczyć $n$ -te pochodne; można nawet sobie wyprowadzić wzór na $n$ -tą pochodną:

$f(x) = \frac{a}{x+b}$ , wtedy $f^{(n)}(x) = (-1)^n \cdot \frac{a \cdot n!}{(x+b)^{n+1}}$ dla $n\in\mathbb{N}$ .

Pozdrawiam.

Góra

MenosGrandes Offline

Tytuł: szereg Taylora

Napisane: 28 mar 2012, o 15:26

Posty: 164
Lokalizacja: Łowicz

a ja wiem cy ja mam z tego liczyć pochodne.. nie powiedziałbym..

) ale dziekuje za pomoc!!;p Poprostu mam z tych wartośći zrobvić szeregi Taylora.. tylko żę też nie wiem.. jak

.... Doszedłem do tego samego co ty.. tylko myślałem że jak sie liczy $A ,B$ to ich suma musi wynieść $1$

Góra

JakimPL Offline

Tytuł: szereg Taylora

Napisane: 28 mar 2012, o 15:40

Posty: 2389
Lokalizacja: Katowice

Szereg Taylora jest nieskończonym wielomianem utworzonym właśnie z pochodnych funkcji w następujący sposób (przy założeniu oczywiście, że taki da się skonstruować):

$f(x) = f(x_0) + f^{(1)}(x_0) \cdot \frac{x-x_0}{1!}+ f^{(2)}(x_0) \cdot \frac{(x-x_0)^2}{2!} + f^{(3)}(x_0) \cdot \frac{(x-x_0)^3}{3!}+\ldots$

gdzie $x_0$ jest z góry ustalonym punktem. Oczywiście nie jesteśmy w stanie wyznaczyć wszystkich pochodnych i wstawić do szeregu. Do dobrego aproksymowania funkcji wystarczy wziąć tylko kilka początkowych wyrazów. To, co zostanie niewpisane, nazywa się resztą Peano i istnieją odpowiednie rozwinięcia (które mówią, z jaką dokładnością została przybliżona funkcja w otoczeniu $x_0$ ).

Góra

MenosGrandes Offline

Tytuł: szereg Taylora

Napisane: 28 mar 2012, o 15:40

Posty: 164
Lokalizacja: Łowicz

tak dla Ciekawośći wychodzi tyle:)
:
$\sum_{n=0}^{ \infty } -4 \cdot (\frac{x}{2})^n + \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{-13}{3} \cdot (\frac{x}{3})^n$

Góra

JakimPL Offline

Tytuł: szereg Taylora

Napisane: 28 mar 2012, o 16:00

Posty: 2389
Lokalizacja: Katowice

Ten szereg sumuje się do innego wyrażenia (o innym liczniku), na pewno jest dobrze ze znakami?

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 6 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Funkcje elementarne » Funkcje wymierne

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
szereg taylora - zadanie 14	kamil.jack	6
Szereg Taylora - zadanie 44	Problemowa	5
szereg Taylora - zadanie 6	tangerine87	3
szereg taylora - zadanie 23	maestro05	12
szereg Taylora - zadanie 17	maciula20	1

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]