szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: szereg Taylora
PostNapisane: 28 mar 2012, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 164
Lokalizacja: Łowicz
Mam rozwinać funkcje:
f(x)=\frac{2-5x}{x^2-5x+6}
w szereg Taylora o środku w punkcie a=0
Zaczynam od tego że rozkładam te funkcje na ułamki proste czyli licze delte i miejsca zerowe:
\delta=1
x_{1}=2 x_{2}=3
Wiec moja funkcja wyglada tak:
\frac{A}{x-2} + \frac{B}{X-3} = \frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}
i teraz wstyd sie przyznac .. ale dalej mi nic nie wychodzi..... nie wiem co dalej mam zrobić...
Pomóżcie;))!!
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: szereg Taylora
PostNapisane: 28 mar 2012, o 15:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2375
Lokalizacja: Katowice
Jak dobrze rozumiem, zamierzasz rozbić to na ułamki proste, by lepiej się liczyło pochodne. A więc do dzieła.

\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3} = \frac{2-5x}{(x-2)(x-3)}

Mnożymy obustronnie przez (x-2)(x-3), otrzymując:

A(x-3)+B(x-2)=2-5x \\ Ax - 3A +Bx - 2B = 2-5x

Grupujemy wyrazy:

x(A+B) -3A -2 B=-5x+2

Stąd z równości wielomianów:

\begin{cases} A+B=-5 \\ -3A-2B=2 \end{cases}

Rozwiązaniem tego prostego układu jest A = 8 oraz B = -13. Stąd:

\frac{2-5x}{(x-2)(x-3)}= \frac{8}{x-2} + \frac{-13}{x-3}

Teraz już łatwo liczyć n-te pochodne; można nawet sobie wyprowadzić wzór na n-tą pochodną:

f(x) = \frac{a}{x+b}, wtedy f^{(n)}(x) = (-1)^n \cdot \frac{a \cdot n!}{(x+b)^{n+1}} dla n\in\mathbb{N}.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: szereg Taylora
PostNapisane: 28 mar 2012, o 16:26 
Użytkownik

Posty: 164
Lokalizacja: Łowicz
a ja wiem cy ja mam z tego liczyć pochodne.. nie powiedziałbym..;)) ale dziekuje za pomoc!!;p Poprostu mam z tych wartośći zrobvić szeregi Taylora.. tylko żę też nie wiem.. jak :(.... Doszedłem do tego samego co ty.. tylko myślałem że jak sie liczy A ,Bto ich suma musi wynieść 1
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: szereg Taylora
PostNapisane: 28 mar 2012, o 16:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2375
Lokalizacja: Katowice
Szereg Taylora jest nieskończonym wielomianem utworzonym właśnie z pochodnych funkcji w następujący sposób (przy założeniu oczywiście, że taki da się skonstruować):

f(x) = f(x_0) + f^{(1)}(x_0) \cdot \frac{x-x_0}{1!}+ f^{(2)}(x_0) \cdot \frac{(x-x_0)^2}{2!} + f^{(3)}(x_0) \cdot \frac{(x-x_0)^3}{3!}+\ldots

gdzie x_0 jest z góry ustalonym punktem. Oczywiście nie jesteśmy w stanie wyznaczyć wszystkich pochodnych i wstawić do szeregu. Do dobrego aproksymowania funkcji wystarczy wziąć tylko kilka początkowych wyrazów. To, co zostanie niewpisane, nazywa się resztą Peano i istnieją odpowiednie rozwinięcia (które mówią, z jaką dokładnością została przybliżona funkcja w otoczeniu x_0).
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: szereg Taylora
PostNapisane: 28 mar 2012, o 16:40 
Użytkownik

Posty: 164
Lokalizacja: Łowicz
tak dla Ciekawośći wychodzi tyle:)
:
\sum_{n=0}^{ \infty } -4  \cdot (\frac{x}{2})^n + \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{-13}{3} \cdot (\frac{x}{3})^n
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: szereg Taylora
PostNapisane: 28 mar 2012, o 17:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2375
Lokalizacja: Katowice
Ten szereg sumuje się do innego wyrażenia (o innym liczniku), na pewno jest dobrze ze znakami?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Szereg Taylora - zadanie 2  gg1985  4
 szereg taylora - zadanie 50  szakal13  0
 Szereg Taylora - zadanie 57  garrincha94  4
 Szereg Taylora - zadanie 54  kajusia12312  1
 szereg taylora - zadanie 18  simbelmyne  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl