szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2012, o 16:16 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Podkarpacie
\begin{cases}  \left| x_{1}\right| +x _{2} = 1\\  \left| x_{2}\right| +x _{3} = 1 \\  \left| x_{3}\right| +x _{4} = 1 \\...\\ \left| x_{n}\right| +x _{1} = 1\end{cases}
dla n nieparzystego naturalnego
Proszę o potrzebne wskazówki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2012, o 17:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2345
Lokalizacja: Katowice
Jeżeli nie masz pojęcia, jak ruszyć z tym zadaniem, prześledź, jak układ zachowuje się dla kilku n. Powinieneś dojść do pewnego algorytmu, który pozwoli Ci wyznaczyć rozwiązania dla niewiadomej liczby równań.

Sprawdźmy jak zachowuje się ten układ dla n=1:

|x_1|+x_1 =1

x_1>0, inaczej lewa strona jest równa 0. Stąd po opuszczeniu wartości bezwzględnej mamy, że x=\frac{1}{2}

Dla n=3:

\begin{cases} \left| x_{1}\right| +x _{2} = 1\\ \left| x_{2}\right| +x _{3} = 1 \\ \left| x_{3}\right| +x _{1} = 1\end{cases}

Z racji symetryczności układu możemy przypuszczać, iż x_1=x_2=x_3. Ale nie uprzedzajmy faktów. Przede wszystkim zauważmy, iż:

\forall_{i\in\{1,2,3\}}\ x_i \in [0,1]

Szukanie rozwiązań w innych przedziałach prowadzi bezpośrednio do sprzeczności (czy widzisz, dlaczego?). Wyznaczmy x_2:

x_2=1-|x_1|

Wtedy:

x_3=1-|x_2|=1-|1-|x_1||

co prowadzi do:

x_1 = 1 - |1-|1-|x_1|||

To równanie ma tylko jedno rozwiązanie x_1=\frac{1}{2}. Z tą wiedzą powinieneś już umieć rozwiązać w całości ten układ i przejść do układu n niewiadomych.

PS Co by było, jeżeli n miałoby być parzyste?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 kwi 2012, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 1278
Układ jest cykliczny. Rzeczywiście, małe przypadki mogą pomóc.
W rozumowaniu ogólnym, imho, powinieneś wyciągnąć następujące wnioski (wszystkie punkty prócz szóstego są niezależne od parzystości liczby równań):

1. Liczby x_i nie mogą wszystkie być niedodatnie.
\Downarrow
2. Któraś jest więc dodatnia i nie mniejsza od każdej innej x_i - można przyjąć, że jest to x_1.
\Downarrow
3. Wszystkie niewiadome są nie większe od jedynki.
\Downarrow
4. Wszystkie niewiadome są nieujemne.
\Downarrow
5. Wszystkie niewiadome o indeksach parzystych są równe. Wszystkie niewiadome o indeksach nieparzystych są równe.
\Downarrow
6. Dla nieparzystej liczby równań układ ma jedno rozwiązanie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiaz rownanie - zadanie 4  nice88  6
 Rozwiąż równanie - zadanie 19  kaliszwk  1
 rozwiąż równanie - zadanie 20  Javier  4
 rozwiąż równanie - zadanie 25  Ta-Kumsawa  1
 Rozwiąż równanie - zadanie 66  anialk10  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl