szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2012, o 11:49 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Witam. Dostałem do domu 2 zadania z nierówności, jednak są to zadania typu "wykaż, że" w których jestem strasznie słaby i za żadne światy nie mogę sobie z tym poradzić. Byłbym wdzięczny za rozwiązanie tych dwóch zadań i sposób. Najlepiej cały przebieg rozwiązania, żebym mógł sobie go przeanalizować :)

1. Wykaż, że jeżeli x,y,z Należą do R+ to
xy + yz + zx  \ge x \sqrt{yz}  + y \sqrt{zx} + z \sqrt{xy}

2. Wykaż że jeżeli x,y,z należa do R+ to
\frac{xy}{z} +  \frac{yz}{x} +  \frac{xz}{y}  \ge   x + y + z

Do obydwóch zadań mam wykorzystać tą właśności:

ab>0 to \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}  \ge  2

Dziękuje z góry za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2012, o 13:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 640
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
1.
Dla a,b>0 nierówność \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 jest równoważna nierówności a + b \ge 2\sqrt{ab} (potrafisz to wykazać?). No to piszemy:
xy+yz+zx = \frac{1}{2}(xy + xz + yz +yx + zx + zy) = \frac{1}{2}(x(y+z) + y(x+z) + z(x+y))\ge \frac{1}{2}(x \cdot 2\sqrt{yz} + y \cdot 2\sqrt{xz} + z \cdot 2\sqrt{xy}) = x\sqrt{yz} + y\sqrt{xz} + z\sqrt{xy}
i wychodzi.

2.
Zrób sam. Wskazówka: łatwo pokazać równoważność tej nierówności i tej z zadania powyżej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2012, o 13:15 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
w obu przypadkach zauważ, że dla każego x, y, z  \in R_{+} w pierwszym przykładzie:
(\sqrt{xy}-\sqrt{yz})^{2}+(\sqrt{xy}-\sqrt{xz})^{2}+(\sqrt{yz}-\sqrt{xz})^{2} \ge 0

a w drugim przykładzie:

(xy-yz)^{2}+(xy-xz)^{2}+(yz-xz)^{2} \ge 0

i jak rozpiszesz, podzielisz na dwa i przeniesiesz na drugą stronę co trzeba to wyjdzie, ale widzę, że ktoś mnie tam uprzedził
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2012, o 13:56 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Ok dzięki za rozwiązanie i wskazówki.
Teraz akurat z pewnych powdów nie dam rady rozwiązać tego drugiego, jednak spróbuję później, jak mi nie wyjdzie to będę interweniował tutaj :)

Jeszcze raz dzięki :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiaz nierownosc  jackass  3
 Równanie wymierne i nierówność  Monster  2
 Rozwiąż nierówność - funkcja homograficzna  judge00  2
 Nierówność wymierna  judge00  4
 Równanie i nierówność z parametrem  at_new  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl