szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 14:35 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Warszawa
Dany jest trójkąt równoboczny o boku x. Od każdego z wierzchołków poprowadzono odcinki łączące się w jednym punkcie ( nie jest to środek okręgu wpisanego). Mają długości 3,4,5. Oblicz x.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 15:23 
Użytkownik

Posty: 684
Też niedawno nad tym myślałem. Wszystkie rozwiązania jakie udało mi się znaleźć, kończą się rozwiązywaniem niemiłego układu równań. Na przykład można to wrzucić w układ współrzędnych i ułożyć trzy równania okręgów: o środku \left( 0;0 \right) i promieniu 3, środku \left( x;0 \right) i promieniu 4, o środku \left( \frac{x}{2};\frac{x\sqrt3}{2} \right) i promieniu 5, a teraz szukać x dla którego te okręgi przetną się w jednym punkcie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 16:13 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Nie trzeba rozwiązywać niemiłego układu równań, bo liczby są dobrane nieprzypadkowo (boki trójkąta prostokątnego). Można narysować trójkąt z zadania i jeszcze raz ten sam trójkąt obrócony o 60^{\circ} wokół wierzchołka, z którego wychodzi odcinek długości 3 (albo 4). Wtedy policzenie x sprowadza się do skorzystania z tw. Pitagorasa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 18:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 134
Również niedawno miałem podobne zadanie i nie udało mi się go rozwiązać. Narysowałem ten drugi trójkąt obrócony o 60^{\circ}, ale nie widzę tego tw. Pitagorasa. Mógłbyś rozwinąć trochę myśl?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 19:52 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
\begin{picture}(0,0)
\qbezier(0,0)(0,0)(200,0)
\qbezier(0,0)(0,0)(100,173.205)
\qbezier(0,0)(0,0)(100,-173.205)
\qbezier(200,0)(200,0)(100,173.205)
\qbezier(200,0)(200,0)(100,-173.205)
\thicklines

\color{red}

\qbezier(0,0)(0,0)(84.711,-26.2097)
\qbezier(0,0)(0,0)(65.0538,60.2571)
\qbezier(84.711,-26.2097)(84.711,-26.2097)(65.0538,60.2571)

\color{green}

\qbezier(200,0)(200,0)(84.711,-26.2097)
\qbezier(100,173.205)(100,173.205)(65.0538,60.2571)

\color{blue}
\qbezier(100,-173.205)(100,-173.205)(84.711,-26.2097)
\qbezier(200,0)(200,0)(65.0538,60.2571)

\end{picture}

Widzisz czerwony trójkąt równoboczny i kolorowy trójkąt prostokątny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 20:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 134
To już udało mi się samemu zauważyć. Problem w tym, że nie wiem jak w tym układzie obliczyć przekątną powstałego w ten sposób czworokąta, czyli x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 20:21 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Przedłuż zielony odcinek o wysokość czerwonego trójkąta. W ten sposób otrzymasz trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej x.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 20:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 134
Pojąłem :)
Dzięki za pomoc, cały czas niepotrzebnie kombinowałem jak tą przekątna obliczyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 22:00 
Użytkownik

Posty: 684
Albo, skoro czerwony jest równoboczny a kolorowy znany, to z tw. cosinusów wyznaczamy kąt w kolorowym. Suma tego kąta i kąta 60 stopni z czerwonego, użyta do kolejnego tw. cosinusów da nam długość x.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 23:22 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Glo, bardzo dobry pomysł. W ten sposób można zrobić przypadek ogólny, niekoniecznie dla kąta prostego. Mi wychodzi, że jeśli odległości punktu od wierzchołków są a,b,c, to

x=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}2+\frac{\sqrt{3}}2\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 23:34 
Użytkownik

Posty: 684
I to również wygląda ciekawie, bo jak kiedyś próbowałem to robić, to poprzez jakieś (nie pamiętam już dokładnie jakie) symetryczne przekształcenia trójkąta, można było stworzyć wielokąt o znanym polu, które można było liczyć też wzorem Herona dla czworokąta - a ten pierwiastek pod pierwszym pierwiastkiem wygląda dziwnie charakterystycznie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt, punkt na boku trójkąta, dwusieczna największego kąt  km__87  1
 Trójkąt prostokątny - zadanie 100  inka_pl  1
 trójkąt, tales  joasska18  1
 Trójkąt prostokątny? - iloczny skalarny  Warmix  6
 okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie  Martykinka14  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl