szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 19:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Udowodnij, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta, to
3abc \ge a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c)

Prawą stronę przeniosłem wszystko na lewo ze zmienionymi znakami:

a^2(a-b-c)+b^2(b-a-c)+c^2(c-a-b)+3abc \ge 0
Warunek na trójkąty to jest:
a+b>c
a+c>b
b+c>a
Pamiętamy, że a,b,c \in N^+
Na mocy tego 3abc jest zawsze dodatnie, kwadraty tych liczb tak samo.

No i tutaj mam pomysł, ale nie wiem jak to poprawnie udowodnić. Wyciągając same nawiasy i po przeniesieniu liczb ujemnych na drugą stronę mamy tak jakby warunek. Ale nie wiem czy to dobry i jak go udowodnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2012, o 19:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podstawiając a=x+y , b=x+z , c=y+z dla pewnych x,y,z > 0 (Można tak zrobić, wystarczy wpisać w dany trójkąt okrąg i oznaczyć z twierdzenia o stycznej równe odcinki jako x,y,z) i wymnażając wszystko dostajemy x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y) \ge 6xyz a to jest am-gm.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2012, o 23:16 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Albo od razu z nierówności Schura :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2012, o 15:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Vax, tometomek91: Dzięki. Ta druga metoda wydaje mi się lepsza. To ma wyglądać tak:

a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \geqslant 0

Tak więc gdyby pojawiło się coś w tym stylu wystarczyłaby odpowiedź to powyższe, czy musiałbym napisać dodatkowo: Według nierówności Schura, powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej (bo a,b,c \in N^+) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2012, o 16:21 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Tak, musisz to napisać - zawsze pisz nazwę nierówności na jaką się powołujesz ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jaki to trójkąt? Podane długości boków  iwcia100  3
 Trójkąt - Oblicz długość trzeciego boku  Tama  3
 Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokąt  Anonymous  5
 Oblicz pola figur na jakie trójkąt został podzielony  Anonymous  1
 Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokąt - zadanie 2  the moon  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl