szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2012, o 21:38 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Polska
Witam wszystkich. Bardzo proszę o pomoc w następujących przykładach.

1. Zbadaj parzystość (nieparzystość) funkcji.

a) f(x)= \sqrt{x} -  \sqrt{-x}

b) f(x)=  \begin{cases}  \frac{1}{2} x ^{2} \mbox{ dla } x \ge 0 \\ - \frac{1}{2}x ^{2} \mbox{ dla }    x <0 \end{cases}

w tym podpunkcie wyliczyłam f(-x) i mi wyszło, że funkcja nie jest parzysta, nie wiem jak obliczyć za bardzo -f(x) (powinno wyjść, że jest nieparzysta).

2. Wykaż, że funkcja jest monotoniczna w zbiorze \mathbb R:

y= -4x + 2 \sqrt{6}

tak się zastanawiam, czy w tym po prostu nie sprawdzać po kolei czy jest rosnąca, malejąca czy stała... jeśli ktoś mógłby coś podpowiedzieć byłabym wdzięczna.

3. Wykaż, że funkcja
a) y= \frac{2}{x} nie jest monotoniczna w zbiorze \mathbb R _{+}  \cup \mathbb R _{-}

b)y=  \frac{x+1}{x+3} nie jest monotoniczna w zbiorze \mathbb R-\left\{ -3\right\}

Dodam, że jestem w 1 klasie liceum i wszystkie dowody z funkcjami (np. rosnącymi, różnowartościowymi) robiliśmy na zasadzie badania znaku różnicy.
Bardzo proszę o pomoc, gdyż za kilka dni mam klasówkę. Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2012, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 22494
Lokalizacja: piaski
2) Bierzesz dwa x-sy takie, że x_2>x_1 obliczasz (ustalasz znak) różnicy f(x_2)-f(x_1) i pokazujesz co Ci wyszło.

3) a) liczysz f(-1); f(1); f(2) i z wyników podajesz wniosek.

b) podobnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2012, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Ad 1
a) Jeśli to ma być pierwiastek w sensie rzeczywistym, to funkcja jest parzysta i nieparzysta, bo jest stale równa zero w swojej nędznej dziedzinie.

b) Skorzystaj z tego, że (-x)^2 = x^2.
I popraw ten przykład, bo jest źle napisany.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 kwi 2012, o 08:57 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Polska
Oj sorki, przykład już poprawiony.

Ad 1
a) bo dobrze rozumiem, że dziedzina tej funkcji to tylko 0? I jak to zapisać? W tym przykładzie nie badamy znaku różnicy tylko trzeba napisać, że dziedzina jest jednoelementowa i symetryczna wzgl punktu 0? Dobrze myślę? Bo mam właśnie problem z zapisem tego.

b) Tak, korzystałam z tego.

Robiłam tak
f(-x)= \begin{cases}  \frac{1}{2}x ^{2} \mbox { dla } x \le 0   \\ - \frac{1}{2}x ^{2}  \mbox { dla } x >0 \end{cases}

no i porównałam z f(x) i funkcja nie jest parzysta.
Teraz do nieparzystości potrzebne mi -f(x)
-f(x)= \begin{cases} - \frac{1}{2} x ^{2} \mbox { dla } x \ge 0  \\  \frac{1}{2} x ^{2} \mbox { dla } x<0 \end{cases} no i aby funkcja była nieparzysta to f(-x)=-f(x) a mi się nie równa. Co robię źle?

Ad 3
A czy mogą być jakieś inne argumenty (oczywiście z podanych zbiorów)? I jak to dokładnie zapisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2012, o 09:18 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
gryzelda napisał(a):
Ad 1
a) bo dobrze rozumiem, że dziedzina tej funkcji to tylko 0? I jak to zapisać?

Dokładniej: singleton zera, D=\{0\} (bo dziedzina to zbiór, a nie liczba).

gryzelda napisał(a):
W tym przykładzie nie badamy znaku różnicy tylko trzeba napisać, że dziedzina jest jednoelementowa i symetryczna wzgl punktu 0? Dobrze myślę? Bo mam właśnie problem z zapisem tego.

To, co napisałaś, wystarczy do parzystości. Do nieparzystości potrzebujesz jeszcze informacji, że f(0)=0.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 kwi 2012, o 10:12 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Polska
Aha, no to zadanie 1 a i 2 już w miarę jasne. Dziękuję Wam bardzo. :)

A ktoś pomoże jeszcze w 1 b i z zapisem w 3?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2012, o 10:36 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
gryzelda napisał(a):
Ad 3
A czy mogą być jakieś inne argumenty (oczywiście z podanych zbiorów)? I jak to dokładnie zapisać?

Mogą być inne, ale muszą być "dobre" (tzn. musisz wybrać odpowiednie argumenty, a nie losowe).

Zapisanie polega na tym, że wskazujesz trzy argument a<b<c takie, że f(a)<f(b) i f(c)<f(b) (albo odwrotne nierówności). Skoro f(a)<f(b), to funkcja nie jest malejąca. Skoro f(c)<f(b), to funkcja nie jest rosnąca.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 kwi 2012, o 12:47 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Polska
Ok, rozpisałam sobie to wszystko i się zgadza, dowód się udał.
A mam jeszcze jedno pytanko. W podręczniku mam przykład funkcji f(x)= \frac{1}{x} i trzeba było wykazać, że nie jest malejąca w R _{+}  \cup R _{-}. I tam dowód oparty był na 2 argumentach (-1,4). Czy to dlatego, że tam trzeba było udowodnić tylko, że jest nie malejąca, a ja w moim przykładzie musiałam wykazać, że nie jest monotoniczna, czyli ani malejąca ani rosnąca? Dobrze myślę?

I kiedy do dowodu wystarczy podać odpowiednie argumenty, a kiedy trzeba badać znak różnicy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2012, o 13:40 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
gryzelda napisał(a):
A mam jeszcze jedno pytanko. W podręczniku mam przykład funkcji f(x)= \frac{1}{x} i trzeba było wykazać, że nie jest malejąca w R _{+}  \cup R _{-}. I tam dowód oparty był na 2 argumentach (-1,4). Czy to dlatego, że tam trzeba było udowodnić tylko, że jest nie malejąca, a ja w moim przykładzie musiałam wykazać, że nie jest monotoniczna, czyli ani malejąca ani rosnąca? Dobrze myślę?

Dobrze.

gryzelda napisał(a):
I kiedy do dowodu wystarczy podać odpowiednie argumenty, a kiedy trzeba badać znak różnicy?

Jak udowadniasz, że funkcja JEST rosnąca/malejąca, to masz sprawdzić, że dla dowolnych argumentów x_1,x_2 takich, że x_1<x_2 zachodzi f(x_1)<f(x_2) (lub odpowiednio f(x_1)>f(x_2)). W tym celu ustalasz takie x_1,x_2 i badasz np. znak różnicy f(x_1)-f(x_2).

Jeżeli udowadniasz, że funkcja NIE JEST rosnąca/malejąca, to wystarczy pokazać, że istnieją argumenty x_1,x_2 takie, że x_1<x_2, ale f(x_1)>f(x_2) (lub odpowiednio f(x_1)<f(x_2)). W celu uzasadnienia istnienia argumentów wystarczy wskazać konkretne.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 kwi 2012, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Polska
Ok, już to rozumiem. Wielkie dzięki :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2012, o 19:37 
Użytkownik

Posty: 22494
Lokalizacja: piaski
Do braku monotoniczności bierz trzy różne x-sy - tak jak pisałem.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 kwi 2012, o 21:51 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Polska
Tak, tak, wzięłam trzy x-ksy i dowód mi wyszedł, dzięki :)

A mam jeszcze jedno pytanie. Czy jak udowadniam parzystość/nieparzystość, to pisać założenia jakieś czy nie?

Np. jak mam jakąś prostą funkcję y=-4x i mam udowodnić, że jest ona nieparzysta. Najpierw oczywiście wyznaczam dziedzinę
D  _{f}=R   \Rightarrow   \bigwedge\limits_{ x \in D _{f} }  -x \in D _{f
I czy od razu po tym zapisie badać znak różnicy, czy jeszcze pisać założenia i tezę, np.
Zalożenia: x \in D _{f}  \wedge -x \in D _{f}
Teza: f(-x)=-f(x)

Trzeba jeszcze pisać założenia i tezę, czy już nie?

-- 15 kwi 2012, o 17:49 --

Pomoże ktoś?
Góra
PostNapisane: 1 maja 2012, o 11:11 
Użytkownik
Zalożen nie musisz pisać. Tylko tezę
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Z jakich funkcji złożone poniższe funkcje  Sansi  6
 Zbadaj monotoniczność funkcji - zadanie 9  nymph  10
 Funkcje cyklometryczne - zadanie 13  ulka1987  3
 Jak działają funkcje ?  Xix  7
 Określ monotoniczność funkcji - zadanie 3  Koko25  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl