szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 25 kwi 2012, o 19:02 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Warszawa
Mamy funkcję \ f(x+1)=f(f(x)), gdzie \ x jest liczbą całkowitą.

Jakie funkcje spełniają ten warunek?
Poza f(x)=x+1 :)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 25 kwi 2012, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 201
Lokalizacja: Gdynia
Funkcja stale równa zero.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 25 kwi 2012, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 3557
Lokalizacja: Wrocław
Niekoniecznie zero, dowolna funkcja stała.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 25 kwi 2012, o 22:14 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Warszawa
Czyli tylko \ f \left( x\right)= \ x+1 i funkcje stałe?

Można jakoś udowodnić, że żadne inne funkcje nie spełniają tego warunku?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 26 kwi 2012, o 11:40 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Czy dziedziną funkcji f ma być \mathbb{Z} czy może być większa? W drugim przypadku można spokojnie wskazać jeszcze mnóstwo funkcji.

-- 26 kwi 2012, o 12:49 --

Zakładając że dziedzina to \mathbb{Z}, można pokazać, że albo f(x)=x+1, albo f jest funkcją od pewnego miejsca okresową. Kto wie, może coś się z tego da dalej wywnioskować.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 26 kwi 2012, o 21:17 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Warszawa
norwimaj: możesz dać mi jakąś wskazówkę, jak by to udowodnić? :)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 26 kwi 2012, o 21:51 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Jeśli f jest różnowartościowa, to f(x)=x+1. W przeciwnym razie istnieją x\ne y takie że f(x)=f(y) i wtedy f(x+1)=f(f(x))=f(f(y))=f(y+1). Podobnie f(x+z)=f(y+z) dla każdego dodatniego całkowitego z.

Ale nie mam pojęcia, czy to może się przydać do rozwiązania zadania.

-- 26 kwi 2012, o 23:03 --

Znalazłem jeszcze jedną rodzinę takich funkcji. Dla n naturalnego, f(x)=(x+1) \mod n.

-- 26 kwi 2012, o 23:08 --

Mogą być też bardziej skomplikowane, na przykład
f(x)=\begin{cases}x+1&\text{dla }x<0\\(x+1)\mod4&\text{dla }x\ge0.\end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 26 kwi 2012, o 22:36 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Warszawa
To jest bardziej skomplikowane niż wydawało się na początku, ale dziękuję bardzo! Na funkcje z mod bym nie wpadł. To już chyba wszystkie możliwe - taką mam nadzieję ;)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 27 kwi 2012, o 07:18 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
bananowiec666 napisał(a):
To już chyba wszystkie możliwe - taką mam nadzieję ;)

Jeszcze nie.

Samo działanie \mod n polega na przypisaniu liczbie reprezentanta wyznaczonej przez nią klasy abstrakcji relacji x\sim_ny\iff n|x-y, przy czym standardowo bierzemy reprezentanty ze zbioru \{0,1,\ldots,n-1\}. Jeśli jednak zmienimy zbiór reprezentantów (selektor), to otrzymamy inne działanie modulo, które też się nadaje do konstrukcji funkcji f.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 27 kwi 2012, o 16:12 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Warszawa
norwimaj: masz na myśli to, że to nie jest jedna funkcja modulo, tylko zbiór funkcji modulo? W sensie, że funkcje typu modulo?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 27 kwi 2012, o 17:29 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Chodzi mi o to, że przykładem dobrej funkcji f jest

f(x)=
\begin{cases}
7&\text{dla }x\mod 3 = 0\\
2&\text{dla }x\mod 3 = 1\\
15&\text{dla }x\mod 3 = 2.
\end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 27 kwi 2012, o 17:34 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Warszawa
norwimaj: chyba rozumiem ;)

Ostatnie pytanie i już cie wiecej nie męczę. Są jeszcze jakieś funkcje, które spełniają założenie?
Poza tymi okresowymi?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 27 kwi 2012, o 18:16 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Nie znam odpowiedzi. Wydaje mi się, że możliwości są następujące:
  • funkcja f(x)=x+1,
  • funkcje okresowe typu modulo, ale mogą być z innym selektorem niż \{0,1,\ldots,n-1\},
  • funkcje x\mapsto x+1 na pewnym przedziale (-\infty,a),
    okresowe j.w. na przedziale (a,\infty), o wartościach w (a,\infty)
    oraz spełniające f(a)\ge a, n|f(a)-a-1.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: czy są inne?
PostNapisane: 27 kwi 2012, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Warszawa
I tak bardzo dziękuję!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Parzystość, okres i inne  piter89  3
 Funkcja "na" a inne funkcje.  _Mithrandir  4
 Inne funkcyjne z kwadratem  mol_ksiazkowy  4
 Funkcja. Zadania inne.  paulinka24  2
 fonkcja-monotonicznosc, dziedzina i inne własności  karolynqaa  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl