szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2012, o 11:58 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: xyz
Witam,
rozwiązuję zadanie: Funkcja f określona jest wzorem f(x)=3^x+3^{-x}. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji.

Jako że coś tam wiem o pochodnych liczę:3^x=t,\ t>0 stąd funkcja f ma wzór \frac{t^2+1}{t} dalej f'(t)= \frac{t^2-1}{t^2}. Pochodna się zeruje dla t=1

I tu mam pytanie. Skąd wiemy że w punkcie tym następuje zmiana znaku oraz że jest to minimum a nie maksimum?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2012, o 12:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
ale po co tak? f(x)=3^x+\frac{1}{3^x}=\frac{(3^x)^2+1}{3^x}\ge \frac{2\cdot 3^x}{3^x}=2, bo zawsze (3^x)^2+1\ge 2\cdot 3^x. widać, że dla x=0 jest to równe 2 i to jest najmniejsza wartość funkcji.

co do pochodnej - przecież licznik jest równy (t-1)(t+1) i dla t<1 jest ujemny, dla t>1 dodatni...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2012, o 13:07 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: xyz
Dziękuję za podanie prostszego sposobu :) Co do pochodnej, faktycznie, zupełnie o tym nie pomyślałem
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2012, o 13:19 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
\frac{(3^x)^2+1}{3^x}=\frac{(3^x+1)^2}{3^x}
Tylko to nie jest prawdziwe, ale pewnie się tylko machnąłeś z tym :P.

Ogólnie znana jest nierówność a+ \frac{1}{a}  \ge 2 dla a>0, zwija się do (a-1)^2 \ge 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2012, o 13:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
no właśnie, przed chwilą poprawiłem. człowiek się starzeje...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rekurencja... suma:  author  4
 Rekurencja: suma[2]  author  1
 Wykres funkcji - suma  Mateusz Kempa  4
 wartosc parametru m  ptykuku  1
 wartośc funkcji w danym punkcie  qaz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl